Concorrenza
Esercizio n.1
Si consideri un mercato caratterizzato dalla seguente funzione di domanda
inversa:
$$p(Q) = 100 − 2Q$$
Il
costo di produzione di ogni impresa che opera in questo mercato è \(C(q) = 4q\).
Si determini il livello di produzione in concorrenza perfetta e il prezzo.
Soluzione
$$p(Q) = 100 − 2Q ⇒ Q(p) = 50 − 0.5p$$ in concorrenza perfetta si ha $$p = MC = 4 ⇒ Q = 48$$Esercizio n.2
La funzione di domanda di mercato delle biciclette è \(Q_d= 20 – p\).
Il costo di produzione è dato da \(TC(Q)=1 + Q^2\).
Determinare:
- l’equilibrio di mercato se le biciclette fossero tutte prodotte da una impresa monopolista;
- l’equilibrio di mercato se il mercato delle biciclette fosse in concorrenza perfetta;
- la perdita di benessere sociale nel passaggio dall’equilibrio di concorrenza perfetta all’equilibrio di monopolio (con rappresentazione grafica del caso specifico in oggetto)
Soluzione
- L’impresa monopolista massimizza il profitto in corrispondenza della quantità \(Q_m\) che rende uguale il ricavo marginale(MR) al costo marginale (MC): $$MR(Q)=MC(Q)$$ La domanda inversa del mercato è: $$p(Q)=20–Q$$ Il ricavo totale dell’impresa monopolista è: $$TR(QM)=p(Q)\cdot Q=(20‐Q)Q=20Q‐Q^2$$ Da questo si ottiene ‐ derivando rispetto alla quantità prodotta ‐ il ricavo marginale: $$MR(Q) = \frac{∂TR(Q)}{∂Q}=20-2Q $$ Da notare che il ricavo marginale ha sempre la medesima intercetta verticale della funzione di domanda(20) e una pendenza doppia rispetto ad essa. In equilibrio il ricavo marginale dovrà essere uguale al costo marginale: $$MC(Q) = \frac{∂TC(Q)}{∂Q}=2Q $$ La quantità che massimizza il profitto dell’impresam monopolista(scelta ottima) si ricava dunque da: $$20–2Q=2Q$$ cioè $$Q_m=20/4=5$$ Il prezzo di mercato corrispondente è: $$p_m = 20 – Q_m = 20 – 5 = 15$$ Il profitto (positivo) dell’impresa monopolista diventa dunque: $$π(Q_m) = (p_m \cdot Q_m)‐TC(Q_m) = (15 *5)‐(1 + 25) = 75‐(1 + 25) = 49$$
- L’impresa perfettamente concorrenziale si comporta come se il prezzo di mercato fosse dato (price‐taker). Il ricavo marginale è costante e uguale al prezzo di mercato, che in equilibrio è uguale al costo marginale \(MC(Q) = 2Q\). Esplicitando rispetto alla quantità prodotta, la condizione di massimo profitto dell’impresa perfettamente concorrenziale è: $$p = MC(Q)⇒20-Q=2Q⇒ Q_c=20/3 $$ Il prezzo di mercato si ottiene dalla domanda inversa: $$p_c = 20 – Q_c = 20 – 20/3 = 40/3$$
Esercizio n.3
In concorrenza perfetta, un impresa ha una curva di costo marginale \(MC = 2Q\) ed il prezzo di mercato è \(P=12\).
- Calcolate la quantità ottimale per l'imprenditore.
- Se il costo fisso è pari a 24 ed i costi medi variabili sono pari a 8 al livello di produzione ottimale (\(Q^*\)), sapreste dire se l'impresa sta guadagnando o perdendo?
Soluzione
- L'imprenditore pone \(MC = P\) quindi \(12 = 2Q\); segue che \(Q^*=6\).
- Nel breve periodo la valutazione di profitto si basa sul confronto \(AVC\) e \(P\). Nel breve periodo \(AVC(Q^*): 8 < 12\) per cui l'azienda nel breve periodo sta guadagnando. Nel lungo periodo \(ATC=AV C + AFC\) quindi \(ATC(Q^*) : 8 + \frac{24}{Q}=8 + 4=12\), nel lungo periodo quindi i profitti sono pari a zero.
Esercizio n.4
Un'impresa concorrenziale ha la seguente funzione di costo di breve periodo
$$TC = 9 + 5Q + Q^2$$
dove
$$MC=5+2Q$$
calcolare il profitto economico nel caso in cui il prezzo di mercato sia \(P = 23\). Cosa
conviene
fare all'impresa, continuare a produrre o cessare l'attività?
Soluzione
\(MR = MC\) in concorrenza equivale a \(P = MC\) $$23 = 5 + 2Q$$ $$Q^*= 9$$ dunque $$AVC(Q^*) = 14 < P=MC=23$$ $$\Pi=TR-TC=23\cdot 9-(9+5\cdot9+9^2)=72$$Esercizio n.5
In un mercato perfettamente concorrenziale popolato di imprese identiche, la funzione del costo di lungo periodo per una singola impresa è $$TC=1440 + 10q^2$$
- Quale è la quantità ottimamente prodotta dall’impresa e a che prezzo è venduta?
- Se la funzione (inversa) di domanda aggregata è \(P=480 -2Q\), quale sarà il numero di imprese presenti sul mercato?
Soluzione
-
Occorre sfruttare il fatto che nell’equilibrio di LP in concorrenza perfetta
\(P=MC=AC\) (nel punto di minimo).
Sicché se si trova il costo medio minimo, si trova automaticamente il prezzo di
equilibrio di lungo periodo.
Il costo medio sarà
$$AC=\frac{TC}{q}=\frac{1440}{q}+10q$$
per trovare il costo medio minimo occorre trovare quel valore di \(q\) che azzera la
derivata prima della funzione del
costo medio:
$$\frac{dAC}{dq}=-\frac{1440}{q^2}+10=0$$
$$q=12$$
Trascuriamo, ovviamente l‘altra soluzione \(q=-12\)
che non ha alcun significato economico.
12 è il livello produttivo che rende minimi i costi medi di lungo; per sapere qual è il livello del costo medio minimo occorre sostituire 12 nella funzione del costo medio $$AC(12)=120+120=240$$ Per la condizione di equilibrio questo sarà anche il livello del prezzo di equilibrio. Quindi, lell’equilibrio di lungo periodo, l’impresa produce una quantità pari a 12 e vende ad un prezzo pari a 240 - Per conoscere il numero delle imprese occorre sapere qual è la domanda aggregata a quel valore del prezzo; sostituiamo quindi 240 nella funzione di domanda aggregata \(P=480 -2Q\) $$240=480-2Q$$ $$Q=120$$ Il mercato produce in aggregato 120 unità ciascuna delle identiche imprese ne produce 12, il numero delle imprese è 10. $$n=\frac{Q}{q}$$
- Qual è la curva di offerta \(S(p)\) di una singola impresa? Se nell’industria sono presenti \(n\) imprese quale sarà la curva di offerta dell’industria?
- Qual è il prezzo minimo al quale può essere venduto il bene prodotto?
- Quale sarà, in equilibrio, il numero di imprese presenti nell’industria?
- Quale sarà il prezzo di equilibrio? E la quantità di equilibrio prodotta da ciascuna impresa?
- Quale sarà l’output di equilibrio dell’industria?
- La singola impresa decide di offrire la quantità che massimizza il suo profitto, ovvero quella per cui i ricavi marginali sono uguali ai costi marginali. Poiché il mercato considerato è in concorrenza i ricavi marginali dell’impresa saranno pari al prezzo di mercato e, quindi, la condizione di ottimo diventa: $$p=C’$$ I costi marginali per l’impresa sono: $$C’=2y$$ e, quindi, si ha: $$p=2y$$ Pertanto la quantità offerta dall’impresa i è $$y_i= \frac{p}{2}$$ Se nell’industria sono presenti n imprese la quantità totale y offerta sarà data dalla somma delle offerte delle singole imprese. Si ha perciò: $$O(p)=y=n\frac{p}{2}$$
- Le imprese saranno disposte ad offrire quantità non nulle del prodotto per livelli di prezzo non inferiori a quello corrispondente al minimo dei costi medi variabili. Il punto di minimo delle curva dei costi medi variabili dell’impresa è anche quello per il quale le curve dei costi marginali e dei costi medi variabili si intersecano. Pertanto il prezzo minimo al quale può essere venduto il bene è quello che soddisfa la seguente relazione: $$C’_i=CMV_i$$ In questo caso si ha: $$CMV_i= \frac{CV_i}{y_i}$$ $$ \frac{y^2_i+1}{y_i} = y_i + \frac{1}{y_i}$$ Nel caso in esame i costi variabili coincidono con i costi totali perché questi ultimi sono nulli se l’impresa non produce: questo significa che non ci sono costi da sostenere indipendentemente dalla produzione e, quindi, non ci sono costi fissi. Se si impone la condizione: $$C’i=CMV_i$$ si ottiene: $$2y_i=yi+\frac{1}{y_i}$$ $$y_i=\frac{1}{y_i}$$ $$y^2_i=1 => y_i=1$$ Il valore di \(y_i\) trovato è quello corrispondente al prezzo minimo per il quale la singola impresa è disposta ad offrire una quantità non nulla di prodotto. Il prezzo corrispondente è: $$p=2y_i=2$$
-
All’equilibrio in un mercato perfettamente concorrenziale devono essere
soddisfatte tre condizioni:
- ogni impresa decide di produrre la quantità che massimizza il proprio profitto, ossia tale che \(p=Ci’\)
- i profitti lucrati dalle imprese sono nulli
- la domanda e l’offerta di mercato devono essere uguali
- Con 50 imprese il prezzo di equilibrio di mercato sarà dato da: $$D(p)=O(p)$$ $$52-p=50\frac{p}{2}$$ $$52-p=25p$$ $$26p=52$$ $$p^*=2$$
- L’output di equilibrio dell’industria è la quantità offerta da tutte le imprese in equilibrio e, perciò, è dato da: $$y^*=n(\frac{p^*}{2})=50$$
Esercizio n.6
Consideriamo un’industria concorrenziale dove opera un grande numero di imprese, tutte con l’identica funzione di costo: $$C(y)=y^2+1$$ Supponiamo che inizialmente la curva di domanda di mercato sia $$D(p)=52-P$$