Concorrenza

Esercizio n.1

Si consideri un mercato caratterizzato dalla seguente funzione di domanda inversa: $$p(Q) = 100 − 2Q$$ Il costo di produzione di ogni impresa che opera in questo mercato è \(C(q) = 4q\). Si determini il livello di produzione in concorrenza perfetta e il prezzo.

Soluzione
$$p(Q) = 100 − 2Q ⇒ Q(p) = 50 − 0.5p$$ in concorrenza perfetta si ha $$p = MC = 4 ⇒ Q = 48$$

Esercizio n.2

La funzione di domanda di mercato delle biciclette è \(Q_d= 20 – p\). Il costo di produzione è dato da \(TC(Q)=1 + Q^2\). Determinare:

  1. l’equilibrio di mercato se le biciclette fossero tutte prodotte da una impresa monopolista;
  2. l’equilibrio di mercato se il mercato delle biciclette fosse in concorrenza perfetta;
  3. la perdita di benessere sociale nel passaggio dall’equilibrio di concorrenza perfetta all’equilibrio di monopolio (con rappresentazione grafica del caso specifico in oggetto)
Soluzione
  1. L’impresa monopolista massimizza il profitto in corrispondenza della quantità \(Q_m\) che rende uguale il ricavo marginale(MR) al costo marginale (MC): $$MR(Q)=MC(Q)$$ La domanda inversa del mercato è: $$p(Q)=20–Q$$ Il ricavo totale dell’impresa monopolista è: $$TR(QM)=p(Q)\cdot Q=(20‐Q)Q=20Q‐Q^2$$ Da questo si ottiene ‐ derivando rispetto alla quantità prodotta ‐ il ricavo marginale: $$MR(Q) = \frac{∂TR(Q)}{∂Q}=20-2Q $$ Da notare che il ricavo marginale ha sempre la medesima intercetta verticale della funzione di domanda(20) e una pendenza doppia rispetto ad essa. In equilibrio il ricavo marginale dovrà essere uguale al costo marginale: $$MC(Q) = \frac{∂TC(Q)}{∂Q}=2Q $$ La quantità che massimizza il profitto dell’impresam monopolista(scelta ottima) si ricava dunque da: $$20–2Q=2Q$$ cioè $$Q_m=20/4=5$$ Il prezzo di mercato corrispondente è: $$p_m = 20 – Q_m = 20 – 5 = 15$$ Il profitto (positivo) dell’impresa monopolista diventa dunque: $$π(Q_m) = (p_m \cdot Q_m)‐TC(Q_m) = (15 *5)‐(1 + 25) = 75‐(1 + 25) = 49$$
  2. L’impresa perfettamente concorrenziale si comporta come se il prezzo di mercato fosse dato (price‐taker). Il ricavo marginale è costante e uguale al prezzo di mercato, che in equilibrio è uguale al costo marginale \(MC(Q) = 2Q\). Esplicitando rispetto alla quantità prodotta, la condizione di massimo profitto dell’impresa perfettamente concorrenziale è: $$p = MC(Q)⇒20-Q=2Q⇒ Q_c=20/3 $$ Il prezzo di mercato si ottiene dalla domanda inversa: $$p_c = 20 – Q_c = 20 – 20/3 = 40/3$$

Esercizio n.3

In concorrenza perfetta, un impresa ha una curva di costo marginale \(MC = 2Q\) ed il prezzo di mercato è \(P=12\).

  1. Calcolate la quantità ottimale per l'imprenditore.
  2. Se il costo fisso è pari a 24 ed i costi medi variabili sono pari a 8 al livello di produzione ottimale (\(Q^*\)), sapreste dire se l'impresa sta guadagnando o perdendo?
Soluzione
  1. L'imprenditore pone \(MC = P\) quindi \(12 = 2Q\); segue che \(Q^*=6\).
  2. Nel breve periodo la valutazione di profitto si basa sul confronto \(AVC\) e \(P\). Nel breve periodo \(AVC(Q^*): 8 < 12\) per cui l'azienda nel breve periodo sta guadagnando. Nel lungo periodo \(ATC=AV C + AFC\) quindi \(ATC(Q^*) : 8 + \frac{24}{Q}=8 + 4=12\), nel lungo periodo quindi i profitti sono pari a zero.

Esercizio n.4

Un'impresa concorrenziale ha la seguente funzione di costo di breve periodo $$TC = 9 + 5Q + Q^2$$ dove $$MC=5+2Q$$ calcolare il profitto economico nel caso in cui il prezzo di mercato sia \(P = 23\). Cosa conviene fare all'impresa, continuare a produrre o cessare l'attività?

Soluzione
\(MR = MC\) in concorrenza equivale a \(P = MC\) $$23 = 5 + 2Q$$ $$Q^*= 9$$ dunque $$AVC(Q^*) = 14 < P=MC=23$$ $$\Pi=TR-TC=23\cdot 9-(9+5\cdot9+9^2)=72$$

Esercizio n.5

In un mercato perfettamente concorrenziale popolato di imprese identiche, la funzione del costo di lungo periodo per una singola impresa è $$TC=1440 + 10q^2$$

  1. Quale è la quantità ottimamente prodotta dall’impresa e a che prezzo è venduta?
  2. Se la funzione (inversa) di domanda aggregata è \(P=480 -2Q\), quale sarà il numero di imprese presenti sul mercato?

Soluzione
  1. Occorre sfruttare il fatto che nell’equilibrio di LP in concorrenza perfetta \(P=MC=AC\) (nel punto di minimo). Sicché se si trova il costo medio minimo, si trova automaticamente il prezzo di equilibrio di lungo periodo. Il costo medio sarà $$AC=\frac{TC}{q}=\frac{1440}{q}+10q$$ per trovare il costo medio minimo occorre trovare quel valore di \(q\) che azzera la derivata prima della funzione del costo medio: $$\frac{dAC}{dq}=-\frac{1440}{q^2}+10=0$$ $$q=12$$ Trascuriamo, ovviamente l‘altra soluzione \(q=-12\) che non ha alcun significato economico.
    12 è il livello produttivo che rende minimi i costi medi di lungo; per sapere qual è il livello del costo medio minimo occorre sostituire 12 nella funzione del costo medio $$AC(12)=120+120=240$$ Per la condizione di equilibrio questo sarà anche il livello del prezzo di equilibrio. Quindi, lell’equilibrio di lungo periodo, l’impresa produce una quantità pari a 12 e vende ad un prezzo pari a 240
  2. Per conoscere il numero delle imprese occorre sapere qual è la domanda aggregata a quel valore del prezzo; sostituiamo quindi 240 nella funzione di domanda aggregata \(P=480 -2Q\) $$240=480-2Q$$ $$Q=120$$ Il mercato produce in aggregato 120 unità ciascuna delle identiche imprese ne produce 12, il numero delle imprese è 10. $$n=\frac{Q}{q}$$

    3. Esercizio n.6

    Consideriamo un’industria concorrenziale dove opera un grande numero di imprese, tutte con l’identica funzione di costo: $$C(y)=y^2+1$$ Supponiamo che inizialmente la curva di domanda di mercato sia $$D(p)=52-P$$

    1. Qual è la curva di offerta \(S(p)\) di una singola impresa? Se nell’industria sono presenti \(n\) imprese quale sarà la curva di offerta dell’industria?
    2. Qual è il prezzo minimo al quale può essere venduto il bene prodotto?
    3. Quale sarà, in equilibrio, il numero di imprese presenti nell’industria?
    4. Quale sarà il prezzo di equilibrio? E la quantità di equilibrio prodotta da ciascuna impresa?
    5. Quale sarà l’output di equilibrio dell’industria?
    Soluzione
    1. La singola impresa decide di offrire la quantità che massimizza il suo profitto, ovvero quella per cui i ricavi marginali sono uguali ai costi marginali. Poiché il mercato considerato è in concorrenza i ricavi marginali dell’impresa saranno pari al prezzo di mercato e, quindi, la condizione di ottimo diventa: $$p=C’$$ I costi marginali per l’impresa sono: $$C’=2y$$ e, quindi, si ha: $$p=2y$$ Pertanto la quantità offerta dall’impresa i è $$y_i= \frac{p}{2}$$ Se nell’industria sono presenti n imprese la quantità totale y offerta sarà data dalla somma delle offerte delle singole imprese. Si ha perciò: $$O(p)=y=n\frac{p}{2}$$
    2. Le imprese saranno disposte ad offrire quantità non nulle del prodotto per livelli di prezzo non inferiori a quello corrispondente al minimo dei costi medi variabili. Il punto di minimo delle curva dei costi medi variabili dell’impresa è anche quello per il quale le curve dei costi marginali e dei costi medi variabili si intersecano. Pertanto il prezzo minimo al quale può essere venduto il bene è quello che soddisfa la seguente relazione: $$C’_i=CMV_i$$ In questo caso si ha: $$CMV_i= \frac{CV_i}{y_i}$$ $$ \frac{y^2_i+1}{y_i} = y_i + \frac{1}{y_i}$$ Nel caso in esame i costi variabili coincidono con i costi totali perché questi ultimi sono nulli se l’impresa non produce: questo significa che non ci sono costi da sostenere indipendentemente dalla produzione e, quindi, non ci sono costi fissi. Se si impone la condizione: $$C’i=CMV_i$$ si ottiene: $$2y_i=yi+\frac{1}{y_i}$$ $$y_i=\frac{1}{y_i}$$ $$y^2_i=1 => y_i=1$$ Il valore di \(y_i\) trovato è quello corrispondente al prezzo minimo per il quale la singola impresa è disposta ad offrire una quantità non nulla di prodotto. Il prezzo corrispondente è: $$p=2y_i=2$$
    3. All’equilibrio in un mercato perfettamente concorrenziale devono essere soddisfatte tre condizioni:
      1. ogni impresa decide di produrre la quantità che massimizza il proprio profitto, ossia tale che \(p=Ci’\)
      2. i profitti lucrati dalle imprese sono nulli
      3. la domanda e l’offerta di mercato devono essere uguali
      La condizione 1 è stata verificata al punto a) dell’esercizio ed ha portato a concludere che ciascuna impresa offre una quantità pari a \(y_i= \frac{p}{2}\). La seconda condizione è stata verificata al punto b) dell’esercizio ed ha condotto alla determinazione del prezzo \(pmin=2$\), che poi risulta essere il prezzo di mercato. L’ultima condizione richiede che sia verificata la seguente uguaglianza: $$D(p)=O(p)$$ $$52-p=n\frac{p}{2}$$ Poiché, per la condizione 2, il mercato deve trovarsi nel suo prezzo minimo \(p_min=2$\) si ha: $$52-2=n$$ $$n=50$$ Sul mercato in condizioni di equilibrio sono presenti 50 imprese.
    4. Con 50 imprese il prezzo di equilibrio di mercato sarà dato da: $$D(p)=O(p)$$ $$52-p=50\frac{p}{2}$$ $$52-p=25p$$ $$26p=52$$ $$p^*=2$$
    5. L’output di equilibrio dell’industria è la quantità offerta da tutte le imprese in equilibrio e, perciò, è dato da: $$y^*=n(\frac{p^*}{2})=50$$