Teoria del consumatore

Esercizio n.1

Un consumatore ha preferenze rappresentate dalla seguente funzione d’utilità: $$U(x, y) = x ⋅ y$$

Mostrare che le preferenze sono convesse
Determinare la scelta ottima nel caso sia $p_x = 2, p_y = 1, M = 10$

Soluzione

Se individuiamo due panieri sulla stessa curva di indifferenza e questa è convessa, ogni combinazione lineare di essi (ad esempio la media aritmetica) sarà preferita ai due panieri iniziali (o almeno altrettanto buona). Ad esempio nel nostro caso possiamo considerare i panieri A = (1, 2) e B = (2, 1), entrambi daranno al consumatore un’utilità pari a 2, infatti: $$U(A)=1 ⋅ 2 = 2$$ $$U(A)=2 ⋅ 1 = 2$$ I due panieri sono quindi sulla stessa curva d’indifferenza. Se consideriamo la media aritmetica dei due panieri (ma qualunque combinazione lineare andrebbe ugualmente bene) otteniamo un terzo paniere C le cui coordinate saranno: $$U(C) = 1,5 ⋅1,5 = 2,25 > 2$$ Il paniere C, che si ottiene dalla media di A e B, è quindi preferito ai panieri originari (da al consumatore un’utilità maggiore)
L’ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema: \begin{cases} SMS = -\frac{p_x}{p_y} \\ M = p_xx+p_yy \end{cases} L’SMS del consumatore è dato dal rapporto tra le utilità marginali dei due beni: $SMS = \frac{UM_x}{UM_y}$ L’utilità marginale di un bene indica come varia l’utilità di un consumatore al variare del consumo di quel bene. Per tanto per calcolarla occorre derivare la funzione di utilità rispetto al bene in questione. $$UM_x = \frac{∂U(x,y)}{∂x}=y$$ $$UM_y = \frac{∂U(x,y)}{∂y}=x$$ Sostituendo nel sistema si ha: \begin{cases} \frac{y}{x} = \frac{2}{1} \\ 10 = 2x+y \end{cases} \begin{cases} y = 2x \\ 10 = 2x+y \end{cases} \begin{cases} y = 2x \\ 10 = 2x+2x \end{cases} \begin{cases} y = 2x \\ x = \frac{5}{2} \end{cases} \begin{cases} y = 5 \\ x = \frac{5}{2} \end{cases}

Esercizio n.2

La funzione di utilità di un consumatore è $$u(x1,x2) = x_1^2 x_2$$ Il prezzo del bene 1 è $p_1 = 1$, il prezzo del bene 2 è $p_2 = 3$ ed il reddito del consumatore è $m = 180$ . Determinare il paniere ottimo per il consumatore.

Soluzione

Nel punto di ottimo il paniere scelto dal consumatore si trova sulla curva di indifferenza più alta raggiungibile con il suo vincolo di bilancio (vdb): in altri termini, nel punto di ottimo il vdb del consumatore è tangente ad una delle curve della sua mappa di indifferenza. Poiché le due curve sono tangenti, in quel punto dovranno essere caratterizzate dalla stessa pendenza. La pendenza di una curva di indifferenza è espressa da MRS, ossia dal rapporto fra le utilità marginali, mentre la pendenza del vdb è espressa dal rapporto fra i prezzi dei due beni. Nel punto di ottimo deve, quindi, essere verificata la seguente relazione: $$MRS = ∆x_1/∆x_2=-p_2/p_1$$ Nel caso specifico si ha: vincolo di bilancio: $$p_1x_1+p_2x_2=m$$ $$x_1+3x_2=180$$ La pendenza del vincolo di bilancio è: $$-p2/p1=-3$$ La pendenza di una delle curve di indifferenza della mappa è, invece, data da: $$MRS = ∆x_1/∆x_2=-\frac{UM_2}{UM_1}$$ Nel caso specifico si ha: $$UM_1=2x_1x_2$$ $$UM_2=x_1^2$$ Perciò nel punto di ottimo per il consumatore deve essere: $$-\frac{x_1^2}{2x_1x_2}=-3$$ $$-\frac{x_1}{2x_2}=-3$$ $$x_1=6x_2$$ Nel punto di ottimo del consumatore, quindi, il consumo del bene 1 sarà sei volte più grande del consumo del bene 2. Inoltre, il paniere di consumo ottimale deve essere un paniere ammissibile per il consumatore, ossia deve trovarsi sul suo vdb. Perciò deve valere: \begin{cases} x_1 + 3x_2=180 \\ x_1=6x_2 \end{cases} Da cui si può ricavare che: $$x_1^*=120$$ $$x_2^*=20$$

Esercizio n.3

Si consideri un individuo le cui preferenze siano descritte dalla funzione d’utilità: $$U(x, y) = \sqrt{x} + \sqrt{y}$$

Si calcoli la scelta ottima nel caso i prezzi dei due beni siano $p_x = 2, p_y = 1 $ e il reddito del consumatore sia $M = 1$
Si calcoli la nuova scelta ottima nel caso il prezzo del bene x diventi 1, distinguendo fra effetto reddito ed effetto sostituzione

Soluzione

\begin{cases} SMS = \frac{p_x}{p_y} \\ M = p_xx+p_yy \end{cases} \begin{cases} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{y}}} = \frac{2}{1} \\12=2x+y \end{cases} \begin{cases} \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = 2 \\12=2x+y \end{cases} \begin{cases} \sqrt{y} = 2\sqrt{x} \\12=2x+y \end{cases} \begin{cases} y = 4x \\12=2x+4x \end{cases} \begin{cases} y = 8 \\x=2 \end{cases} Il paniere scelto dal consumatore sarà $A(2;8)$
Se il prezzo del bene x diventa 1, ripetendo col nuovo dato il sistema si ottiene: \begin{cases} SMS = \frac{p_x}{p_y} \\ M = p_xx+p_yy \end{cases} \begin{cases} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{y}}} = \frac{1}{1} \\12=x+y \end{cases} \begin{cases} \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} =1 \\12=x+y \end{cases} \begin{cases} \sqrt{y} = \sqrt{x} \\12=x+y \end{cases} \begin{cases} y = x \\12=2x \end{cases} \begin{cases} y = 6 \\x=6 \end{cases} Adesso il paniere scelto dal consumatore sarà il paniere $B(6;6)$ La domanda di $x$ passa da 2 a 6, occorre distinguere quanta di questa variazione è dovuta all’effetto reddito e quanta all’effetto sostituzione. Per annullare l’effetto reddito si applica l’equazione di Slutsky e si ottiene il reddito compensato: $$M'=p_x'x^A+p_yy^A=1\cdot 2 + 1\cdot 8=10$$ Quindi la scelta ottima coi nuovi prezzi e il reddito compensato diviene: \begin{cases} SMS = \frac{p_x}{p_y} \\ M = p_xx+p_yy \end{cases} \begin{cases} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{y}}} = \frac{1}{1} \\10=x+y \end{cases} \begin{cases} \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = 1 \\10=x+y \end{cases} \begin{cases} \sqrt{y} = \sqrt{x} \\10=x+y \end{cases} \begin{cases} y = x \\10=x+x \end{cases} \begin{cases} y = 5 \\x=5 \end{cases} Il paniere scelto dal consumatore dopo la compensazione di Slusky sarà il paniere $C(5;5)$ L’effetto sostituzione è la differenza tra la quantità domandata iniziale del bene $x$ , e la quantità domandata dopo la compensazione. Ossia $x^A-x^C$ . Il resto è l’effetto reddito. In questo caso, considerando il valore assoluto: $$E.S. = 5 – 2 = 3$$ $$E.R. = 6 - 5 = 1$$

Esercizio n.4

Un consumatore ha a disposizione un reddito pari a $M = 320$ e preferenze descritte dalla funzione d’utilità $$U = x ⋅ y$$

Determinare il paniere di consumo ottimale in corrispondenza dei prezzi $p_x = 2$ e $p_y = 5$
Si supponga che il prezzo del bene y diminuisca e che sia $p′ y = 4$ . Mostrare come varia la scelta del consumatore distinguendo tra effetto reddito ed effetto sostituzione, applicando la definizione di Hicks.

Soluzione

Essendo la funzione di utilità una Cobb-Douglas la scelta ottima del consumatore sarà: $$x=\frac{1}{2}\frac{320}{2}=80$$ $$y=\frac{1}{2}\frac{320}{5}=32$$
Se il prezzo del bene $y$ passa da 5 a 4 il nuovo paniere di scelta ottima per il consumatore sarà; $$x=\frac{1}{2}\frac{320}{2}=80$$ $$y=\frac{1}{2}\frac{320}{4}=40$$ Per distinguere tra effetto reddito ed effetto sostituzione occorre dare al consumatore un qualcosa per compensare il reddito in modo da garantirgli un'utilità uguale a quella precedente la diminuzione del prezzo del bene $y$. Occorre dunque calcolare le coordinate di un punto C, che si trovi sulla curva di indifferenza di A e per il quale passi il nuovo vincolo di bilancio. Il sistema da risolvere è il seguente: $$\begin{cases} U_A = U_C \\ SMS=\frac{p_x}{p'_y} \end{cases}$$ La prima condizione ci dice che il punto A e il punto C devono essere indifferenti tra loro. La seconda condizione stabilisce che la curva di indifferenza passante per C sia tangente al vincolo di bilancio determinato dal nuovo rapporto tra i prezzi. Il valore dell’utilità nel punto A è dato da $U(A)=x \cdot y=80\cdot32=2560$. Il sistema diventa quindi: $$ \begin{cases} 2560= x_c\cdot y_c \\ \frac{y_c}{x_c}=\frac{2}{4} \end{cases}$$ Dalla seconda condizione si ottiene $x_c =2y_c$ che sostituito nella prima condizione dà: $$2560=2y_c^2$$ $$y_c=(\frac{2560}{2})^\frac{1}{2}=35,78$$ $$x_c=71,55$$ L’effetto sostituzione è dato dalla differenza: $$\mid y_a-y_c \mid=\mid 32-35,78 \mid=3,78$$ L’effetto reddito dalla differenza: $$\mid y_b-y_c \mid=\mid 38-35,78 \mid=2,22$$

Esercizio n.5

Determinare l'utilità del consumatore in corrispondenza dei panieri $(x,y)=(4,3)$, $(x,y)=(4,2)$, $(x,y)=(5,2)$
Determinare l’equazione del luogo geometrico costituito dai punti d’angolo delle curva di indifferenza del consumatore.
Determinare l’equazione del vincolo di bilancio del consumatore nel caso in cui si abbia $p_x=1, p_y=2, m=8$.
Quale paniere sceglierà il consumatore in questa situazione?

Soluzione

I valori di utilità corrispondenti ai panieri dati sono: $$U(4,3)=min(4,9)=4$$ $$U(4,2)=min(4,4)=4$$ $$U(5,2)=min(5,4)=4$$ I panieri dati si trovano, perciò, sulla stessa curva di indifferenza del consumatore. In particolare, le curve di indifferenza sono quelle relative ai beni perfetti complementi, rappresentate tramite spezzate a “L”.
I punti d’angolo delle curve di indifferenza dei beni perfetti complementi sono i punti nei quali i due beni si trovano nella giusta combinazione di consumo, ossia nei quali si ha: $$U(x,y)=min(x,y^2)=x=y^2$$ Perciò il luogo dei punti d’angolo delle curve di indifferenza di beni perfetti complementi è rappresentato dall’equazione: $$x=y^2$$ ed è, quindi, una parabola con asse coincidente con l’asse delle ascisse. Naturalmente, ai fini economici si considera solo il ramo della parabola per il quale entrambe le coordinate x e y sono non negative. In definitiva, l’equazione del luogo dei punti d’angolo diventa: \begin{cases} x = y^2 \\ y\geq0 \end{cases}
Se il consumatore acquista $x$ unità del primo bene spende $p_x*x$, mentre se acquista $y$ unità del secondo bene spende $p_y*y$. La spesa complessiva del consumatore non può eccedere il suo reddito $m$. L’insieme di bilancio del consumatore è quindi $p_x*x+p_y*y≤m$. Il vdb del consumatore rappresenta la frontiera del suo insieme di bilancio. Si ha quindi vdb: $$x+2y=8$$
Il consumatore sceglie di consumare il paniere, fra quelli appartenenti al suo insieme di bilancio, che si trova sulla curva di indifferenza più alta che può raggiungere. Tale paniere corrisponde generalmente al punto di tangenza fra il vdb del consumatore ed una delle curve della sua mappa di indifferenza. Nel punto di tangenza le pendenze delle due curve devono essere uguali. Visto che la pendenza del vdb è data dal rapporto fra i prezzi dei due beni, mentre quella della mappa di indifferenza – corrispondente al $MRS$ – è data dal rapporto fra le utilità marginali dei beni stessi nel punto di tangenza deve valere la seguente relazione: $$MRS=\frac{dx_1}{dx_2}=-\frac{p_2}{p_1}$$ Nel caso in esame, però, le curve della mappa di indifferenza sono spezzate a “L” e per essere non può, quindi, calcolarsi la derivata dell’utilità nel punto d’angolo. Un metodo alternativo per giungere alla determinazione del paniere di consumo è di imporre che contemporaneamente esso appartenga al vdb e sia punto d’angolo di una delle curve della mappa di indifferenza del consumatore. Le due condizioni sono rappresentate dal sistema: $$\begin{cases} x+2y=8 \\ x = y^2 \\ y\geq0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y^2+2y=8 \\ x = y^2 \\ y\geq0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y=-1\pm\sqrt{1+8} \\ x = y^2 \\ y\geq0 \end{cases}$$ La soluzione $y=-4$ non è accettabile visto che il sistema comprende la condizione che $y$ debba essere non negativo. L’unica soluzione accettabile, quindi, è $y=2$ cui corrisponde un livello di $x$ dato da $x=4$. Il paniere scelto dal consumatore sarà quindi $(x^*,y^*)=(4,2)$ ed in corrispondenza di questo paniere il consumatore avrà un’utilità pari a: $$U(4,2)=min(4,4)=4$$

Esercizio n.6

Considerate un consumatore che consuma un paniere composto da due beni, $x_0$ e $y_0$. Supponete che il saggio marginale di sostituzione (in valore assoluto) sia pari a 1.5. Immaginate ora che al consumatore vengano tolte $10$ unità di $x$ e che gliene vengano date $16$ del bene $y$ in più. Descrivete in che condizioni è il consumatore rispetto a quando consumava le quantità $x_0$ e $y_0$.

Soluzione

Il consumatore è più soddisfatto che nella situazione iniziale, dal momento che ottiene più unità del bene $y$ di quelle necessarie per mantenerlo sulla stessa curva di indifferenza.

Esercizio n.7

Cosa succede a un bene inferiore se il suo prezzo diminuisce (discutete facendo riferimento agli effetti di sostituzione e di reddito)?

Soluzione

L’effetto di sostituzione e quello di reddito non agiscono nella stessa direzione: quello di sostituzione provoca un aumento della quantità domandata del bene, mentre quello di reddito provoca una diminuzione della quantità domandata. Quindi, in conclusione la quantità domandata può sia aumentare che diminuire.