Consumo intertemporale

Esercizio n.1

Giada vive in due periodi, indicati come \(1\) e \(2\), nei quali consuma un unico bene per valori pari a \(c_1\) e \(c_2\). Il reddito a disposizione di Giada è rispettivamente \(R_1\) e \(R_2\). Le preferenze di Giada sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: $$U(c_1, c_2) = ln c_1 + ln c_2$$ Si determini:

  1. Il vincolo di bilancio di Giada per \(R_1\ = 1000, R_2 = 500\) e \(r = 5%\), dove r rappresenta il tasso di rendimento del risparmio.
  2. Il vincolo di bilancio di Giada supponendo che il mercato dei capitali sia imperfetto, quindi il tasso di interesse a cui Giada prende a prestito è diverso dal tasso a cui viene remunerato il suo risparmio.
    3. I redditi sono ancora \(R_1\) = 1000, \(R_2\) = 500. Il tasso al quale viene remunerato il risparmio è ancora \(r = 5%\), mentre il tasso d’interesse a cui Giada prende a prestito è \(r_p = 10%\)
  3. La scelta ottima di consumo e di risparmio di Giada quando il vincolo di bilancio è quello calcolato al punto (a).
Soluzione
  1. Il vincolo di bilancio del periodo presente è pari a: $$c_1+s_1 = R_1$$ dove con \(s_1\) indichiamo il risparmio di Giada. Il vincolo di bilancio nel secondo periodo è pari a: $$c_2 = R_2 + (1 + r)s_1$$ Per ottenere il vincolo intertemporale, si ricava \(s1\) dalla seconda equazione e lo si sostituisce nel vincolo del primo periodo: $$c1 +\frac{c_2}{1 + r}= R_1 +\frac{R_2}{1 + r}$$ $$c_2 = R_2 + (1 + r)R_1 − (1 + r)c_1$$ Sostituendo i valori del reddito e del tasso d’interesse otteniamo: $$c_2 = 1550−(1+0,05)c_1$$ Il vincolo di bilancio ha una pendenza pari −1,05. Si noti che se \(c1 < R1=1000\), il risparmio è positivo, mentre se \(c1> 1000\), Giada prende a prestito.
  2. Se nel periodo uno Giada risparmia, \(s1 > 0\) e il vincolo di bilancio coincide con quello determinato al punto precedente. Se invece Giada prende a prestito nel primo periodo, \(s1 < 0\), dobbiamo calcolare il nuovo vincolo intertemporale. Il vincolo di bilancio del periodo uno sarà pari a: $$c_1 − R_1=s_1$$ mentre quello del periodo due diventa: $$c_2=R_2 − (1 + 0,10)(c_1 − R_1)$$ Il vincolo intertemporale sarà quindi pari a: $$c_2=1600 − (1 + 0,10)c_1$$ I due vincoli hanno pendenza diversa, per cui si intersecheranno. Mettendo a sistema i due vincoli calcoliamo il loro punto di intersezione: $$\begin{cases} c_2=1550 − (1 + 0,05)c_1 \\ c_2=1600 − (1 + 0,10)c_1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} c_1=1000 \\ c_2=500 \end{cases}$$ I due vincoli si incontrano nel punto \(E=(1000, 500)\). Il vincolo intertemporale sarà dato da una spezzata con angolo in \(E\).
  3. Il saggio marginale di sostituzione intertemporale `e pari a: $$MRSc_1,c_2 = U'c_1/U'c_2 = c_2/c_1$$ Il punto di ottimo deve appartenere al vincolo di bilancio e inoltre il \(MRSc_1,c_2\) deve essere uguale all’inclinazione del vincolo di bilancio\((1 + r)\): $$\begin{cases} \frac{c_2}{c_1} = 1,05 \\ c_2 = 1550 − 1,05c_1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} c_2 = 1, 05c_1 \\ 1, 05c_1 = 1550 − 1,05c_1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} c_2^* = 772 \\ c_1^* = 738, 1 \end{cases}$$ Il risparmio si ottiene sottraendo dal reddito del primo periodo il consumo del primo periodo: $$s*_1 = R_1 − c_1 = 100 − 738,1 = 261,9$$

Esercizio n.2

Le preferenze di Guido per consumo presente (\(C_0\)) e consumo futuro (\(C_1\)) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: \(U(C_0; C_1) = min(C_0; C_1)\). I prezzi dei due beni sono entrambi pari ad 1. Guido sa che il suo reddito di questíanno è \(M_0 = 20\), mentre il reddito del prossimo anno è \(M_1 = 40\). Qualunque sia il tasso di interesse (i), Guido deciderè di risparmiare.

Soluzione
FALSO

Il paniere ottimo di Guido, stanti le preferenze del consumatore, si caratterizzerà per un livello di consumo presente pari al livello di consumo futuro (infatti dalla funzione di utilità si evince che la retta dei vertici è \(C_0 = C_1\)). Dato che il reddito presente di Guido è inferiore al reddito futuro ( \(M_0< M_1\)) ci aspettiamo che Guido si indebiti.

Esercizio n.3

In seguito ad una riduzione del tasso di interesse un soggetto mutuatario (che è indebitato) potrebbe decidere di risparmiare.

Soluzione
FALSO

In seguito alla contrazione del tasso di interesse il debitore deciderà sicuramente di aumentare il suo livello di indebitamento.

Esercizio n.4

Un individuo ha una dotazione pari a \(20\) euro nei due periodi (1 e 2). Può prendere a prestito denaro al tasso del \(200%\) e prestare al tasso dello \(0%\).

  1. Illustrare graficamente il suo vincolo di bilancio
  2. Gli viene offerta la possibilità di lasciare la sua dotazione in cambio della disponibilità di \(30\) euro e di \(15\) euro rispettivamente nel periodo 1 e 2. Gli conviene accettare? Possiamo dirlo senza conoscere le sue preferenze?
  3. E se l’offerta fosse \(15\) euro e \(30\) euro rispettivamente nel primo e nel secondo periodo?
Soluzione
  1. Calcoliamo il consumo massimo ottenibile nei due periodi: $$C_1^{max} = 20 +\frac{20}{1 + i}= 20 +\frac{20}{1 + 2}= 26,66$$ $$C_2^{max} = 20 + 20 = 40$$
  2. Per valutare se gli conviene accettare o no, calcoliamo il consumo massimo ottenibile con la nuova dotazione: $$C_1^{max} = 30 +\frac{15}{1 + 2}= 35$$ $$C_2^{max} = 15 + 30 = 45$$ La nuova proposta è superiore alla dotazione iniziale a prescindere dalle preferenze dell’individuo perchè i consumi massimi ottenibili nei due periodi sono entrambi superiori a quelli della dotazione iniziale.
  3. In questo caso non possiamo sapere se l’individuo accetterà la nuova proposta senza conoscere le sue preferenze, perchè i consumi massimi ottenibili nei due periodi non sono entrambi superiori a quelli ottenibili con la dotazione iniziale: $$C_1^{max} = 15 +\frac{30}{1 + 2}= 25$$ $$C_2^{max}= 15 + 30 = 45$$