Modelli di Duopolio
Esercizio n.1
Due imprese producono un bene differenziato distribuito lungo un segmento di lunghezza 1. Le funzioni di domanda sono:
\[ Q_1 = \frac{1}{2} - \frac{P_1 - P_2}{2t} \]
\[ Q_2 = \frac{1}{2} - \frac{P_2 - P_1}{2t} \]
dove \(t\) rappresenta il costo di trasporto per unità di distanza. Determina i prezzi di equilibrio \(P_1\) e \(P_2\).
Soluzione
In equilibrio, le due imprese massimizzano i profitti. Le condizioni di primo ordine per \(P_1\) e \(P_2\) portano a:
\[ P_1^* = P_2^* = t \]
Quindi i prezzi di equilibrio sono pari al costo di trasporto \(t\).
Esercizio 2: Modello di Bertrand con Prodotti Differenziati
Le funzioni di domanda per due imprese sono:
\[ Q_1 = a - bP_1 + cP_2 \]
\[ Q_2 = a - bP_2 + cP_1 \]
dove \(a, b, c > 0\). Calcola i prezzi di equilibrio nel caso in cui i costi marginali siano entrambi pari a \(c_1 = c_2 = 0\).
Soluzione
Le condizioni di primo ordine portano al sistema di equazioni:
\[ P_1 = \frac{a + cP_2}{2b} \]
\[ P_2 = \frac{a + cP_1}{2b} \]
Risolvendo il sistema:
\[ P_1^* = P_2^* = \frac{a}{2b - c} \]
I prezzi di equilibrio dipendono dai parametri \(a, b, c\).
Esercizio 3: Modello di Cournot con Differenziazione del Prodotto
Le imprese competono in quantità, e le funzioni di domanda inverse sono:
\[ P_1 = a - bQ_1 - dQ_2 \]
\[ P_2 = a - bQ_2 - dQ_1 \]
Determina le quantità di equilibrio \(Q_1\) e \(Q_2\) e calcola il profitto di ciascuna impresa.
Soluzione
Le condizioni di primo ordine sono:
\[ \frac{\partial \Pi_1}{\partial Q_1} = a - 2bQ_1 - dQ_2 = 0 \]
\[ \frac{\partial \Pi_2}{\partial Q_2} = a - 2bQ_2 - dQ_1 = 0 \]
Risolvendo il sistema:
\[ Q_1^* = Q_2^* = \frac{a}{2b + d} \]
Il profitto per ciascuna impresa è:
\[ \Pi_1 = \Pi_2 = \frac{a^2}{(2b + d)^2} \]
Esercizio 4: Modello di Stackelberg con Differenziazione del Prodotto
Le funzioni di domanda inverse sono le stesse del modello di Cournot. Tuttavia, l'impresa 1 è il leader e l'impresa 2 è il follower. Determina le quantità di equilibrio \(Q_1\) e \(Q_2\) e calcola i profitti delle due imprese.
Soluzione
L'impresa 2 reagisce ottimizzando rispetto a \(Q_1\):
\[ Q_2 = \frac{a - dQ_1}{2b} \]
Sostituendo nella funzione di profitto dell'impresa 1:
\[ \Pi_1 = aQ_1 - bQ_1^2 - dQ_1Q_2 \]
Risolvendo l'ottimizzazione, otteniamo:
\[ Q_1^* = \frac{a}{2b + d} \]
\[ Q_2^* = \frac{a}{2(2b + d)} \]
I profitti sono:
\[ \Pi_1 = \frac{a^2}{2b + d} \]
\[ \Pi_2 = \frac{a^2}{4(2b + d)^2} \]
Esercizio 5: Modello di Salop (Circolare)
Consideriamo un modello circolare in cui i consumatori sono uniformemente distribuiti lungo un cerchio di lunghezza 1. Due imprese sono posizionate a distanza \(1/2\). I costi di trasporto sono lineari e pari a \(t\) per unità di distanza. Determina i prezzi di equilibrio \(P_1\) e \(P_2\) e analizza l'effetto di un aumento di \(t\) sui profitti.
Soluzione
In equilibrio, i prezzi sono:
\[ P_1^* = P_2^* = t \]
Un aumento di \(t\) aumenta i profitti poiché i consumatori diventano meno sensibili alla distanza e quindi ai prezzi.
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