Equilibrio economico generale

Esercizio n.1

Considerate un'economia di puro scambio in cui sono presenti due soggetti \((A\) e \(B )\) e due beni (\(x\) e \(y\)). Le dotazioni iniziali dei due beni sono le seguenti: $$ w_A^x = 1 \,\ w_A^y = 5 $$ $$ w_B^x = 9 \,\ w_B^y = 5 $$

I soggetti sono caratterizzati dalle seguenti funzioni di utilità: $$U_A = x_A^\frac{1}{2}\ y_A^\frac{1}{2}\ $$ $$U_b = x_b^\frac{1}{2}\ y_b^\frac{1}{2}\ $$

1. Calcolare il livello dei prezzi dell'equilibrio Walrasiano
2. Come dobbiamo riallocare le risorse iniziali per ottenere un'allocazione più egualitaria?

Soluzione

1. L’equilibrio Walrasiano è definito come il vettore dei prezzi (nel nostro caso due prezzi, perchè ci sono due beni), che soddisfa le seguenti condizioni: (1) gli agenti economici massimizzano la loro utilità; (2) vi è equilibrio fra domanda e offerta dei beni. La prima condizione richiede la massimizzazione dell’utilità dei due consumatori, mentre nell’uguagliare la domanda e l’offerta dei due beni bisogna tener conto della dotazione di ciascun bene (nel nostro caso ci sono 10 unità del bene \(x\) e del bene \(y\)). Quindi procediamo alla massimizzazione dell’utilità dei due agenti.
   
   (A) l’agente A massimizza la sua utilità segliendo l’ammontare di beni \(x\) e \(y\) da consumare, dati i prezzi \((p_x, p_y)\) e la loro ricchezza (che nel nostro caso è rappresentata dalla dotazione iniziale di beni). Questo significa massimizzare la funzione di utilità sotto al vincolo di bilancio: $$max U_A = x_A^\frac{1}{2}\ y_A^\frac{1}{2}$$ $$s.v. p_xx_A + p_yy_A \le p_xw_A^xp_yw_A^y$$ Il vincolo di bilancio può essere espresso con il solo simbolo di uguaglianza se si assume non-sazietà degli agenti al consumo dei due beni; inoltre dobbiamo considerare un bene come numerario, cioè esprimiamo il valore degli altri beni in funzione di questo, ciò significa che dobbiamo normalizzare uno dei due prezzi, per esempio pongo \(p_x = 1\). Il problema diventa (ho anche sostituito il valore delle dotazioni iniziali, ed ho chiamato \(p_y = p\) ) $$max U_A = x_A^\frac{1}{2}\ y_A^\frac{1}{2}$$ $$s.v. x_A + py_A = 1 + 5p$$ Ora lo posso risolvere o col metodo del Lagrangiano oppure sostituendo direttamente il vincolo nella funzione obiettivo. In questo secondo caso ottengo $$ max U_A= (1+5p-py_A)^\frac{1}{2}y_A^\frac{1}{2}$$ dove massimizzando rispetto a \(y_A\) ottengo $$ y_A=\frac{1+5p}{2p}$$ sostituendo nel vincolo di bilancio originario ottengo il valore $$ x_A=\frac{1+5p}{2}$$ questi due valori \((x_A, y_A)\) rappresentano la domanda dei due beni fatta dal soggetto A. Faccio la stessa cosa per il soggetto B ed ottengo: $$ x_b=\frac{9+5p}{2}$$ $$ y_b=\frac{9+5p}{2p}$$ Ora devo imporre la condizione di \(DOMANDA=OFFERTA\). La legge di Walras mi assicura che quando tutti i mercati sono in equilibrio tranne uno, anche quest’ultimo è in equilibrio, quindi basta che impongo la condizione in uno dei due mercati. Per esempio considero il mercato del bene x, $$DOMANDA=OFFERTA$$ $$x_A + x_b = w_A + w_b$$ $$\frac{1+5p}{2} + \frac{9+5p}{2} = 1 + 9$$ $$10+10p = 20$$ NB: nell’economia di puro scambio i consumatori non possono consumare più delle dotazioni iniziali del bene, cioè nel nostro esempio ci sono 10 unità del bene x a disposizione, non di più!!! Dalla condizione posso ricavare il valore di \(p = 1\), Il vettore dei prezzi dell’equilibrio Walrasiano è dato da \(\frac{p_y}{p_x} = 1\)
2. per rendere la distribuzione piu' egualitaria devo togliere dalla dotazione iniziale di B alcuni beni e darli ad A.

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Esercizio n.2

Si consideri una economia di puro scambio nella quale le dotazioni inziali dei 2 soggetti (\(A\) e \(B\)) relativamente ai 2 beni (\(x\) e \(y\)) siano le seguenti: $$ w_A^x = 75 \,\ w_A^y = 25 $$ $$ w_B^x = 25 \,\ w_B^y = 75 $$

I soggetti sono caratterizzati dalle seguenti funzioni di utilità: $$U_A = x_A^\frac{1}{2}\ y_A^\frac{1}{2}\ $$ $$U_b = x_b^\frac{1}{2}\ y_b^\frac{1}{2}\ $$ Stabilire la seguente configurazione rappresenta un equilibrio: $$x_A=x_B=y_A=y_B=50$$ $$p_x=p_y=1$$

Soluzione

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