Teoria dei giochi

Esercizio n.1

Il responsabile del corso di Microeconomia è un fanatico di teoria dei giochi e deve decidere se introdurre tale teoria nel programma del corso (\(G\)) oppure no (\(NG\)). Il corso però è diventato opzionale, e lo studente Tipo deve decidere se inserire (\(I\)) il corso nel proprio piano di studi oppure no (\(NI\)). Supponete che studente Tipo e professore prendano le rispettive decisioni simultaneamente e che le utilità dei due siano le seguenti:

  1. Se lo studente sceglie di iscriversi al corso di microeconomia e la teoria dei giochi è in programma, l'utilità del professore à pari a 10 e quella dello studente Tipo è pari a 5;
  2. Se lo studente sceglie di iscriversi al corso di Microeconomia ed il professore decide di escludere la teoria dei giochi dal programma, l'utilità del professore è pari a 7 mentre quella dello studente Tipo è pari a 10.
  3. Se lo studente Tipo decide di non iscriversi al corso di Microeconomia la sua utilità è pari ad \('x'\); in questo caso, l'utilità del professore è pari a 1, se la teoria dei giochi è comunque inserita nel programma, e pari a 0 se non lo è.

(1) Rappresentate il gioco attraverso una matrice mettendo in alto lo studente Tipo. (2) Individuate il valore del parametro \('x'\) in corrispondenza del quale la strategia I (inserire il corso di Microeconomia) è dominante per lo studente Tipo. (3) Supponete ora che \(x\) sia pari a 7 ed individuate l'equilibrio o gli equilibri di Nash del gioco. (4) L'equilibrio individuato al punto precedente è Pareto-efficiente? Motivate la vostra risposta

Soluzione
  1. Il professore ha a disposizione due strategie: \(G\) (inserisco teoria dei giochi nel programma) ed \(NG\) (non inserisco teoria dei giochi nel programma). Analogamente lo studente Tipo ha a disposizione le strategie: \(I\) (mi iscrivo al corso di microeconomia) e \(NI\) (non mi iscrivo al corso di microeconomia). La rappresentazione del gioco è: $$\begin{array}{c|c|c|} & \text{I} & \text{NI} \\ \hline \text{G} & (5;10) & (x;1) \\ \hline \text{NG} & (10;7) & (x;0) \\ \hline \end{array}$$
  2. Il professore gode di una strategia dominante, \(G\), in quanto questa gli assicura un payoff superiore al payoff ottenuto scegliendo la strategia \(NG\) indipendentemente dalla scelta dello studente Tipo. Scegliendo la strategia \(G\) il professore infatti ottiene un'utilità pari a 10 se lo studente Tipo sceglie \(I\) (se avesse scelto la strategia \(NG\) avrebbe ottenuto solo 7), e pari ad 1 se lo studente Tipo sceglie \(NI\) (se avesse scelto la strategia \(NG\) avrebbe ottenuto 0). La strategia \(I\) è dominante per lo studente Tipo se gli assicura un'utilità almeno pari a quella che egli otterrebbe scegliendo la strategia \(NI\), qualunque sia la scelta del professore. Quindi è necessario che: (A) se il professore sceglie \(G\), l'utilità che lo studente ottiene scegliendo I supera quella che lo studente otterrebbe scegliendo \(NI\); (B) se il professore sceglie \(NG\), l'utilità che lo studente ottiene scegliendo \(I\) supera quella che lo studente otterrebbe scegliendo \(NI\); $$\begin{array}{c|c|c|} & \text{I} & \text{NI} \\ \hline \text{G} & (5;10) & (x;1) \\ \hline \text{NG} & (10;7) & (x;0) \\ \hline \end{array}$$ da cui si evince che la strategia \(I\) è dominante per lo studente Tipo solo se l'utilità nel caso in cui non si iscrivesse al corso di Microeconomia fosse al massimo pari a 5.
  3. Se \(x=7\) allora la rappresentazione del gioco in forma di matrice diventa: $$\begin{array}{c|c|c|} & \text{I} & \text{NI} \\ \hline \text{G} & (5;10) & (7;1) \\ \hline \text{NG} & (10;7) & (7;0) \\ \hline \end{array}$$ e l'equilibrio di Nash è rappresentato dalla coppia di strategie \( \{G;NI\} \): il professore decide di inserire teoria dei giochi nel programma di Microeconomia e lo studente Tipo decide di non inserire Microeconomia nel suo programma di studi. I payoffs (livelli di utilità) associati alle suddette strategie sono 1 e 7. $$\begin{array}{c|c|c|} & \text{I} & \text{NI} \\ \hline \text{G} & (5;10) & ( \bar{7}; \bar{1}) \\ \hline \text{NG} & (10;7) & (7;0) \\ \hline \end{array}$$
  4. L'equilibrio di Nash \(\{G;NI\} \) non è Pareto-efficiente in quanto se i giocatori si accordassero e scegliessero \( \{NG;I\} \) otterrebbero entrambi un'utilità maggiore (\(7>1\) e \(10>7\)).

Esercizio n.2

Definire sinteticamente il concetto di Dilemma del prigioniero

Soluzione
Situazione in cui i giocatori dispongono di una strategia (strettamente) dominante, la cui adozione porta ad un esito che non è efficiente nel senso di pareto.

Esercizio n.3

Definire sinteticamente il concetto di Equilibrio nel modello di Stackelberg

Soluzione

Equilibrio di Nash perfetto (ovvero perfetto nei sottogiochi) in un mercato in cui la strategia di ciascuna impresa consiste nella scelta del proprio volume di produzione ed una delle due imprese (leader) effettua la propria scelta prima dell'altra (follower).

Esercizio n.4

Le aziende che operano in un duopolio, analizzano la possibilità di sottoscrivere un accordo collusivo. Data la matrice dei pay-off, individuate se esiste una strategia dominante per ciascuna azienda e se esiste un equilibrio di Nash. $$\begin{array}{c|c|c|} & \text{Cooperare} & \text{Non cooperare} \\ \hline \text{Cooperare} & (500;500) & ( 900;0 ) \\ \hline \text{Non cooperare} & (0;900) & (400;400) \\ \hline \end{array}$$

Soluzione

Entrambe le imprese hanno la medesima strategia dominante: non cooperare; questo atteggiamento, infatti, massimizza per entrambe le imprese il pay-off, a prescindere da quello che farà l’altro (900 e 400 è sempre meglio di 500 e 0). L’equilibrio di Nash in questo caso è non cooperare/non cooperare. Siamo in una tipica situazione da dilemma del prigioniero: prevale la soluzione non cooperativa, pur essendo preferibile quella cooperativa. Poiché i duopolisti, pur concludendo un accordo collusivo, non possono avere assicurazioni sul rispetto dello stesso, la soluzione è plausibile.

Esercizio n.5

Nel gioco rappresentato qui in tabella, almeno una delle due imprese ha una strategia dominante? Esiste un equilibrio di Nash? Argomentate brevemente la risposta. $$\begin{array}{c|c|c|} & \text{A.R&D} & \text{B.R&D} \\ \hline \text{A.R&D} & (500;40) & ( 60;100 ) \\ \hline \text{B.R&D} & (0;30) & (40;80) \\ \hline \end{array}$$ dove A.R&D sta per investimento alto in ricerca e sviluppo e B.R&D sta per investimento basso in ricerca e sviluppo.

Soluzione

A prescindere dalla soluzione adottata dall’impresa 1, per l’impresa 2 la strategia dominante è quella di destinare molti soldi alla ricerca (R&D) (40 e 100 è sempre meglio di 30 e 80). Per l’impresa 1, invece, non esiste una strategia dominante (500 e 0 non è sempre meglio di 60 e 40!). In generale, per l’impresa 2 conviene sempre copiare il comportamento dell’avversario. L’equilibrio di Nash pertanto esiste e si raggiunge nella combinazione in cui entrambi fanno alto investimento.

Esercizio n.6 – Gioco di coordinamento

Due imprese devono decidere se adottare uno standard tecnologico A oppure standard B. I profitti dipendono dalla compatibilità: un’impresa ottiene 100 se sceglie lo stesso standard dell’altra, altrimenti ottiene 0.

La matrice dei payoff è: $$\begin{array}{c|c|c|} & A & B \\ \hline A & (100;100) & (0;0) \\ \hline B & (0;0) & (100;100) \\ \hline \end{array}$$

Soluzione

Le migliori risposte sono:
- Se l’altra impresa sceglie A, la risposta ottimale è A.
- Se l’altra impresa sceglie B, la risposta ottimale è B.
Esistono due equilibri di Nash: (A, A) e (B, B). Entrambi sono Pareto-efficienti.

Esercizio n.7 – Strategia dominante

Uno studio legale e un consulente economico devono decidere se collaborare (C) o lavorare separatamente (S). La tabella dei payoff (studio; consulente): $$\begin{array}{c|c|c|} & C & S \\ \hline C & (8;8) & (1;10) \\ \hline S & (10;1) & (4;4) \\ \hline \end{array}$$

1. Esiste una strategia dominante per uno dei due giocatori?
2. Qual è l’equilibrio di Nash?

Soluzione

Per lo studio legale: S è strategia dominante.
Per il consulente: S è strategia dominante.
L’unico equilibrio di Nash è (S, S). Come nel dilemma del prigioniero, l’esito cooperativo (C,C) sarebbe preferibile, ma non si realizza.

Esercizio n.8 – Gioco sequenziale (forma estesa)

Un’impresa leader (L) decide per prima se entrare in un nuovo mercato (Entrare, E) o restare fuori (F). Se entra, l’impresa incumbent (I) sceglie se combattere (C) riducendo il prezzo, oppure accomodare (A).
Payoff (L; I):

  • Se L sceglie F → (0; 5)
  • Se L sceglie E e I sceglie C → (–2; 2)
  • Se L sceglie E e I sceglie A → (4; 3)

Richiesta:
1. Risolvere il gioco tramite rollback (backward induction).
2. Indicare l’equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi.

Soluzione

- Analisi dell’incumbent I: se L entra (E), I confronta C (2) e A (3) → sceglie A.
- Anticipando ciò, L confronta F (0) e E→A (4) → sceglie E.
Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi: (E, A).