Funzioni di produzione e scelte ottime

Esercizio n.1

Determinare i rendimenti di scala delle seguenti funzioni di produzione:
a) $$Q(K,L) = K ⋅ L$$ b) $$Q(K,L)= K^\frac{1}{2} ⋅ L^\frac{1}{2}$$ c) $$Q(K,L) = K^\frac{1}{2} + L^\frac{1}{2}$$

Soluzione

I rendimenti di scala indicano come varia la quantità prodotta (output) in seguito alla variazione equiproporzionale dei fattori di produzione (input). Se, facendo variare gli input di \(τ\), l’output varia anch’esso di \(τ\) i rendimenti di scala si dicono costanti. Se la variazione dell’output è inferiore a \(τ\) i rendimenti si dicono decrescenti. Se la variazione dell’output è superiore a \(τ\) i rendimenti si dicono crescenti.

  1. $$Q'(τK, τL)= τK ⋅τL = τ^2KL=τ^2Q(K,L)$$ in questo caso i rendimenti di scala sono crescenti in quanto moltiplicando gli input per \(τ\) l’output risulta essere moltiplicato per \(τ^2\)
  2. $$Q'(τK, τL)= (τK)^\frac{1}{2} ⋅(τL)^\frac{1}{2} = τ^\frac{1}{2}K^\frac{1}{2}τ^\frac{1}{2}L^\frac{1}{2}=τK^\frac{1}{2} ⋅L^\frac{1}{2}=τQ(K,L)$$ in questo caso i rendimenti di scala sono costanti in quanto moltiplicando gli input per \(τ\) l’output risulta essere moltiplicato per\(τ\)
  3. $$Q'(τK, τL)= (τK)^\frac{1}{2} + (τL)^\frac{1}{2}=τ^\frac{1}{2}K^\frac{1}{2}+τ^\frac{1}{2}L^\frac{1}{2} =τ^\frac{1}{2}{K^\frac{1}{2}+L^\frac{1}{2}}==τ^\frac{1}{2}Q(K,L)$$ in questo caso i rendimenti di scala sono decrescenti in quanto moltiplicando gli input per \(τ\) l’output risulta essere moltiplicato per \(τ^\frac{1}{2}\)

Esercizio n.2

Date le seguenti funzioni di produzione:
a) $$Q(L;K) =2 (L+K)$$ b) $$Q(L;K) =L^\frac{1}{4}K^\frac{2}{4}$$ c) $$Q(L;K) =2 (LK)^\frac{1}{2}$$ d) $$Q(L;K) =min[L; 2K]$$ 1) Spiegate In cosa consiste, in generale, il concetto di rendimenti di scala e quale legame essi hanno con la scala di produzione di un determinato settore industriale;
2) Determinate, per ciascuna funzione di produzione, se i rendimenti di scala sono costanti, crescenti o decrescenti, indicando obbligatoriamente i diversi passaggi algebrici a sostegno della vostra risposta;
3) Calcolate, per ciascuna funzione di produzione, la produttività marginale del fattore capitale (K) e lavoro (L), commentando il risultato.

Soluzione

1) I rendimenti di scala (r.d.s.) sono una proprietà tecnica di lungo periodo della funzione di produzione (f.d.p.) che descrive la relazione tra scala ed efficienza. In altre parole, essi evidenziano in che modo varia l’output al variare di tutti gli input in una stessa proporzione. In particolare:

  • se tutti gli input aumentano nella stessa proporzione e si osserva un aumento equi‐proporzionale dell’output, allora si hanno rendimenti di scala costanti;
  • se tutti gli input aumentano nella stesso proporzione e si osserva un aumento meno che proporzionale dell’output, allora si hanno rendimenti di scala decrescenti;
  • se tutti gli input aumentano nella stessa proporzione e si osserva un aumento più che proporzionale dell’output, allora si hanno rendimenti di scala crescenti.
Operativamente, per verificare i r.d.s. di una f.d.p. occorre moltiplicare tutti gli input per una medesima costante positiva \(t\) (ad esempio calcolando \(Q(tL; tK))\) e confrontare il risultato con \(tQ(L;K)\). Avremo tre casi:
  • \(tQ(L;K) = Q(tL;tK)\) aumento dell’output EQUI‐PROPORZIONALE, quindi r.d.s. COSTANTI;
  • \(tQ(L;K) > Q(tL;tK)\) aumento dell’output MENO che proporzionale quindi r.d.s. DECRESCENTI;
  • \(tQ(L;K) < Q(tL;tK)\) aumento dell’output PIU’ che proporzionale quindi r.d.s. CRESCENTI
2)
a) $$(Q(L;K) =2(L+K) = 2L + 2K$$

Questa f.d.p. di tipo additivo indica una relazione di perfetta sostituibilità tra il fattore lavoro (L) e il fattore capitale (K). La mappa degli isoquanti è composta da rette parallele e la combinazione ottima dei fattori di produzione prevede l’impiego di uno solo degli input. Per verificare i r.d.s. moltiplico entrambi i fattori per una costante positiva t e controllo se il risultato è maggiore, minore o uguale a \(t*Q(L;K)\). Avremo allora: $$Q(tL;tK)=2(tL+tK) = 2t(L+K)=tQ(L ;K)$$ I rendimenti di scala sono quindi costanti.


b)
$$Q(L;K) =L^\frac{1}{4}K^\frac{2}{4}$$ Questa f.d.p. di tipo Cobb‐Douglas indica una relazione di parziale sostituibilità tra il fattore lavoro (L) e il fattore capitale (K). Per verificare i r.d.s. moltiplico entrambi i fattori per una costante positiva \(t\) e controllo se il risultato è maggiore, minore o uguale a \(t*Q(L;K)\). $$Q(tL,tK) =(tL)^\frac{1}{4}(tK)^\frac{2}{4}=(t)^\frac{1}{4}(L)^\frac{1}{4}(t)^\frac{2}{4}(K)^\frac{2}{4}= t^\frac{3}{4}(L)^\frac{1}{4}(K)^\frac{2}{4}$$ I rendimenti di scala sono quindi descrescenti.
c)
$$Q(L;K) =2(LK)^\frac{1}{2}$$ Anche in questo caso, come nel precedente, abbiamo una f.d.p. di tipo Cobb‐ Douglas: $$Q(tL;tK)=2(tLtK)^\frac{1}{2}=t[2(LK)^\frac{1}{2}]= tQ(L;K)$$ I rendimenti di scala sono quindi costanti.
d)
$$Q(L;K) =min[L; 2K]$$ Questo tipo di funzione di produzione (di Leontief) indica una relazione di perfetta complementarietà tra i due input (lavoro e capitale). Gli isoquanti che ne derivano saranno ad angolo retto e la combinazione ottima di produzione si troverà in uno dei vertici. Per valutare i r.d.s. dobbiamo moltiplicare entrambi gli input per una medesima costante positiva \(t\). $$Q(tL; tK) =min[tL; 2tK]$$ Tuttavia se \(t<0\) possiamo sicuramente dire che $$min[tL; 2tK]=tmin[L; 2K]$$ quindi $$Q (tL; tK)=t Q (L;K)$$ I rendimenti di scala sono quindi costanti.

Esercizio n.3

L’azienda di caramelle Sweetie utilizza una tecnologia descritta dalla seguente funzione di produzione (Cobb‐Douglas): $$Q(L;K) = 2L^\frac{1}{3} K^\frac{1}{2}$$ Siano \(w = 4\) ed \(r = 9\) rispettivamente i costi unitari dei fattori di produzione lavoro \((L)\) e capitale \((K)\). La spesa totale che l’azienda intende sostenere per l’acquisto degli input è pari a \(90\).

  • Scrivete l’equazione dell’isocosto della Sweetie, indicando chiaramente i valori delle intercette e della pendenza.
  • Data la tecnologia impiegata dalla Sweetie, possiamo dire che lavoro e capitale sono perfetti sostituti?
  • Calcolate il saggio tecnico di sostituzione tra lavoro e capitale e rappresentate la mappa degli isoquanti.

Soluzione
  • L’isocosto è il luogo geometrico dei punti che rappresentano combinazioni di fattori produttivi (capitale e lavoro) il cui acquisto da parte dell’azienda comporta il medesimo esborso totale. L’equazione generale della retta di isocosto è $$C=wL+rK$$ Dove \(C\) rappresenta il vincolo di costo, la spesa massima che l’azienda si prefigge di sostenere per acquistare gli input; \(wL\) rappresenta la spesa per acquistare il fattore lavoro (\(w\) è il costo unitario del lavoro); \(rK\) rappresenta la spesa per acquistare il fattore capitale (\(r\) è il costo unitario del capitale). La stessa equazione può essere scritta come: $$K=\frac{C}{r}-\frac{w}{r}L$$ dove: \(C/r\) = intercetta verticale, \(‐w/r\) = pendenza, \(C/w\) = intercetta orizzontale. Nel caso specifico della Sweetie, il vincolo di costo può essere scritto come: $$90 = 4L + 9K$$ Poiché per convenzione rappresentiamo \(L\) in ascissa e \(K\) in ordinata, è utile riscrivere tale equazione esplicitando la \(K\): $$K=\frac{90}{9}-\frac{4}{9}L=10-\frac{4}{9}L$$ Dove pendenza = ‐ 4/9, intercetta verticale \(L=0 K=10\), intercetta orizzontale \(L=90/4 K=0\)
  • La f.d.p della Sweetie è del tipo Cobb Douglas: ciò significa che i due fattori produttivi sono solo in parte sostituti. Se lavoro e capitale fossero perfetti sostituti avremmo una f.d.p. di tipo additivo, con un saggio tecnico di sostituzione costante e isoquanti lineari. Nel nostro caso invece il saggio tecnico di sostituzione è variabile e dipende da \(L\) e \(K\): gli isoquanti hanno la classica forma convessa verso l’origine
  • Il saggio tecnico di sostituzione (TRS) indica, in ogni punto della curva di indifferenza, il tasso al quale il produttore è disposto a scambiare l’input misurato in ascissa con quello misurato in ordinata senza modificare la quantità di output prodotta. Matematicamente TRS è pari al valore assoluto della pendenza della curva di isoquanto e al rapporto tra la produttività marginale dell’input in ascissa (\(MP_L\)) e la produttività marginale dell’input in ordinata (\(MP_K\)). $$TRS=\frac{MP_L}{MP_K}$$ dove $$MP_L=\frac{dQ(L,K)}{dL}$$ $$MP_K=\frac{dQ(L,K)}{dK}$$ Nel nostro esercizio si avrà che: $$TRS=\frac{2}{3}\frac{K}{L}$$

Esercizio n.4

Un’impresa utilizza una tecnologia descritta dalla seguente funzione di produzione: $$q(L,K)=L^\frac{1}{2}K^\frac{1}{2}$$ I prezzi dei fattori lavoro e capitale sono, rispettivamente, \(w=4\) e \(r=9\) . Nel breve periodo, la dotazione di capitale è fissa e pari a 16. Determinare:
  1. Determinare l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di breve periodo.
  2. Determinare la domanda di lavoro nel breve periodo.
  3. Determinare la combinazione ottima di fattori nel caso in cui si voglia produrre una quantità pari a 100.
  4. Determinare l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo.

Soluzione
  • Tenendo conto che il capitale nel breve periodo è fisso, si ha che l'impiego del fattore lavoro è: $$q(L)=\sqrt{16L^\frac{1}{2}}$$ $$L=\frac{q^2}{16}$$ Quindi il costo totale di breve periodo è: $$CT_b(q)=wL+rK=4*\frac{q^2}{16}+9*16=144+\frac{q}{4}$$ Il costo medio e quello marginale di breve periodo sono: $$AC_b(q)=\frac{144}{q}+\frac{q}{4}$$ $$MC_b(q)=\frac{q}{2}$$
  • Per determinare la domanda ottimale di lavoro di breve periodo, occorre impostare la massimizzazione del profitto: $$\Pi=pq-wL-rK$$ $$\Pi=p(4L^\frac{1}{2})-4L-16*9$$ Differenziando rispetto ad L si ha che: $$\frac{d\Pi}{dL}=2pL^\frac{1}{2}-4=0$$ $$L=\frac{p^2}{4}$$ Questa è la funzione di domanda del lavoro in funzione del prezzo.
  • La scelta ottimale dell’impresa si determina individuando l’isocosto più vicino all’origine tangente all’isoquanto che corrisponde ad una quantità pari a \(100\). Quindi, occorre risolvere il seguente sistema: $$\begin{cases} \frac{K}{L}=\frac{4}{9} \\ 100=K^\frac{1}{2}L^\frac{1}{2} \end{cases}$$ in cui, la prima equazione esprime l’uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione tecnica ed il rapporto tra i prezzi dei fattori e la seconda impone che il livello di produzione sia pari a 100. Dalla prima equazione si ottiene che: $$K=\frac{4}{9}L$$ che sostuita nella seconda, dà: $$100=(\frac{4}{9}L)^\frac{1}{2}L^\frac{1}{2}$$ da cui si ottiene che: $$L^*=150, K^*=66,6$$ I costi totali sostenuti dall'impresa sono pari a: $$CT=wL^*+rK^*=4*150+9*66,6=1200$$
  • Per determinare le curve di costo di lungo periodo, occorre, innanzitutto, determinare come si modifica la domanda ottimale di lavoro e capitale (che nel lungo periodo non è più un input fisso) in funzione del livello di produzione. Riscriviamo, quindi, il sistema utilizzato nel punto c) lasciando, però, indicato come q un generico livello di output. $$\begin{cases} \frac{K}{L}=\frac{4}{9} \\ q=K^\frac{1}{2}L^\frac{1}{2} \end{cases}$$ da cui ricaviamo le domande ottimali di \(K\) e \(L\) in funzione di \(q\): $$L=\frac{3}{2}q$$ $$K=\frac{2}{3}q$$ La curva di costo totale di lungo periodo è, quindi: $$CT_l(q)=4*\frac{3}{2}q+9\frac{2}{3}q=12q$$ Nel lungo periodo, \(AM=MC=12\)