Monopolio

Esercizio n.1

Si consideri un monopolista che opera in un mercato con funzione di domanda $$q = a − bq$$ Il costo marginale è costante ed è indicato con $c$. Si mostri che se i costi marginali aumentano di un ammontare pari a $dc$ il prezzo del monopolista aumenta di $dc/2$.

Soluzione

Il monopolista massimizza i profitti dati da $π = (a − bp)(p − c)$. La condizione del primo ordine è $$a − 2bp + bc = 0 ⇒ p_M = (a+bc)/2b $$ $$dp_M/dc =1/2$$

Eserizio n.2

Supponiamo che il governo voglia tassare o dare un sussidio ad un monopolista con funzione di costo $c(q)$ e funzione di domanda inversa $p(q)$. Si assuma che entrambe le funzioni sono differenziabili e che la funzione obiettivo del monopolista sia concava. Qual è la tassa o sussidio che indurrebbe il monopolista a scegliere la quantità di prodotto effciente?

Soluzione

Il monopolista massimizza i profitti dati da $$π = p(q)q − c(q) − tq$$ La condizione del primo ordine è $$\frac{dπ}{dq} = p'(q)q + p(q) − c'(q) − t = 0$$ Perchè la quantità ottima sia data dall'eguaglianza tra prezzo e costo marginale si deve avere $t = p'(q)q < 0$ con q tale che $p(q)=c'(q)$. Dato che $t < 0$ siamo in presenza di un sussidio piuttosto che di una tassa.

Esercizio n.3

Si consideri un mercato caratterizzato da funzione di domanda inversa $p(q) = 10/q$. Il costo marginale del monopolista è costante e pari ad 1. Si determini la quantità che massimizza i profitti.

Soluzione

Il monopolista massimizza i profitti dati da $$π = p(q)q − c(q) = 10 − q$$ In questo caso il problema del monopolista non ammette una soluzione ben definita perchè il monopolista vorrà produrre una quantità arbitrariamente piccola per limitare i costi e assicurarsi un ricavo di 10. Si noti che la funzione di domanda $q(p) = 10/p$ ha elasticità costante e pari a 1. I ricavi del monopolista sono quindi costanti e non dipendono dalla quantità prodotta.

Esercizio n.4

Si consideri un mercato caratterizzato dalla seguente funzione di domanda inversa: $$p(Q) = 100 − 2Q $$ Il costo di produzione di ogni impresa che opera in questo mercato è $C(q) = 4q$. Si determini il livello di produzione ed il prezzo in monopolio

Soluzione

Il monopolista massimizza i profitti $$π = (100 − 2Q)Q − 4Q$$ La condizione del primo ordine è $$dπ/dQ = 100 − 4Q − 4 = 0$$ $$Q_M = 24, P_M = 100 − 2 · 24 = 52$$

Esercizio n.5

La domanda di voli sulla tratta Bari-Pisa è monopolizzata da Ryanair che ha sviluppato un software in grado di discriminare perfettamente i suoi consumatori. Se la domanda di biglietti giornalieri è pari a $P = 376 − 2Q$ e il costo totale dell’impresa è $TC = 10240 + 4Q$. Quanti biglietti vende al giorno per quella tratta? Qual’ è il surplus del consumatore e quali sono i profitti del monopolista in questo mercato?

Soluzione

Il monopolista che discrimina perfettamente il prezzo pone $P = MC$. Il costo marginale è pari a : $$\frac{dTC}{dQ}=4$$ Segue che: $$4=376-2Q → Q^*=186 $$ Il surplus del consumatore è zero (per definizione quando il monopolista discrimina perfettamente), il profitto del produttore è pari all’area sotto la curva di domanda meno i costi totali di produzione: $$\Pi=\frac{Q^*\cdot376}{2}-(10240+4Q^*)$$ $$\Pi=34968 − 10984 = 23984$$

Esercizio n.6

Si definisca brevemente il concetto di concorrenza monopolistica.

Soluzione

Forma di mercato che, pur presentando molte caratteristiche in comune con quelli di concorrenza perfetta, come, per es., la presenza di un numero elevato di imprese e di consumatori, la conoscenza completa e perfetta di ciò che avviene nel mercato, e la libertà di entrata e di uscita delle imprese, costituiscono tuttavia il luogo di produzione e di scambio di prodotti differenziati, non identici come avviene in concorrenza perfetta.

Esercizio n.7

Un’impresa monopolista in equilibrio non produce mai una quantità in corrispondenza del tratto inelastico della curva di domanda.

Soluzione

VERO L’output di monopolio implica la condizione $MR=MC$. Il costo marginale, che misura l’aumento nel costo totale derivante dalla produzione di un’unità aggiuntiva di prodotto, è non negativo quindi anche il ricavo marginale dovrà essere non negativo. Ricordando che il ricavo marginale può essere scritto come: $$MR=p(1−\frac{1}{\epsilon})$$ dove $\epsilon$ è il valore assoluto dell’elasticità della domanda la condizione di non negatività sul ricavo marginale implica: $$p(1−\frac{1}{\epsilon})\geq 0$$ In virtù della non negatività del prezzo in equilibrio, quanto sopra implica che il termine in parentesi dovrà essere non negativo ovvero che: $$(1−\frac{1}{\epsilon})\geq 0$$ $$−\frac{1}{\epsilon}\geq-1$$ $$\epsilon\geq1$$

Esercizio n.8

Se un monopolista riesce discriminare perfettamente (“primo tipo”) tra i suoi acquirenti, la sua curva di ricavo marginale coinciderà con la curva di domanda di mercato.

Soluzione

VERO Se un monopolista riesce a discriminare perfettamente tra i suoi acquirenti, l’aumento nei ricavi totali del monopolista dovuto alla vendita di una unità addizionale di output è esattamente pari al prezzo dell’ultima unità venduta.

Esercizio n.9

Un monopolista affronta una curva di domanda del tipo $$x = 10/p$$ ed ha un costo marginale pari a 1. Quale è il livello di output che massimizza il profitto?

Soluzione

Per questa funziona di domanda ad elasticità costante, il ricavo è costante e pari a 10. Di conseguenza l'output dovrebbe essere più piccolo possibile ed il livello di output che massimizza il profitto non esiste.

Esercizio n.10

Consideriamo un monopolista che produce un bene con la seguente funzione di domanda:

\[ P(Q) = a - bQ \]

dove $a > 0$ e $b > 0$ sono parametri della domanda, $Q$ è la quantità prodotta e $P(Q)$ è il prezzo di mercato.

Il costo marginale del monopolista è costante e uguale a $c$, con $c < a$. Supponiamo inoltre che il monopolista sia soggetto a una tassa proporzionale $t$, espressa come frazione del profitto dichiarato.

Domanda

Calcola il profitto del monopolista nel caso in cui dichiari interamente i suoi profitti e paghi la tassa $t$.
Mostra che il profitto aumenta se il monopolista evade la tassa non dichiarando i profitti, assumendo che l'evasione non comporti costi aggiuntivi o rischi di sanzione.

Soluzione

1. Profitto con dichiarazione completa

Il profitto del monopolista è dato da:

\[ \pi = R - C \]

dove $R = P(Q)Q$ è il ricavo totale e $C = cQ$ è il costo totale.

Sostituendo $P(Q) = a - bQ$, otteniamo:

\[ R = (a - bQ)Q = aQ - bQ^2 \]

Il profitto lordo diventa quindi:

\[ \pi = aQ - bQ^2 - cQ \]

Se il monopolista dichiara interamente i suoi profitti, il profitto netto (dopo il pagamento della tassa $t$) è:

\[ \pi_{dich} = (1 - t)(aQ - bQ^2 - cQ) \]

2. Profitto con evasione fiscale

Se il monopolista evade completamente la tassa, il profitto netto è semplicemente:

\[ \pi_{evaso} = aQ - bQ^2 - cQ \]

3. Confronto tra i profitti

Confrontiamo i due profitti:

\[ \pi_{evaso} - \pi_{dich} = (aQ - bQ^2 - cQ) - (1 - t)(aQ - bQ^2 - cQ) \]

Semplificando:

\[ \pi_{evaso} - \pi_{dich} = t(aQ - bQ^2 - cQ) \]

Poiché $aQ - bQ^2 - cQ > 0$ (il profitto lordo è positivo), segue che:

\[ \pi_{evaso} > \pi_{dich} \]

Quindi, al monopolista conviene evadere la tassa in assenza di costi o rischi associati all'evasione.

Conclusione

Questo esercizio mostra che, in un contesto teorico in cui l'evasione fiscale non comporta costi o rischi, un monopolista massimizza il suo profitto evadendo completamente le tasse.