Duopolio à la Stackelberg

Esercizio n.1

Il Comune di Ruvo vuole concedere due licenze per la gestione di un servizio. La domanda del servizio è $P = 140 − 2Q$. Le due licenze non sono identiche, quella di tipo $L$ da diritto a scegliere per primo la quantità prodotta mentre la licenza $F$ da diritto a sceglie la quantità per secondo. Una volta scelto il volume di servizio prodotto non è possibile modificarlo. Le due imprese producono a costi medi e marginali costanti e pari a zero.
Determinare:

La quantità che produrranno gli imprenditori che ottengono la licenza $L$ e la licenza $F$
La cifra massima alla quale il Comune pu`o attendersi di vendere la licenza $L$ e la licenza $F$
Se lo stesso imprenditore ottiene tutte e due le licenze - divenendo l’unico produttore sul mercato - a quale prezzo unitario venderà il servizio?

Soluzione

Il modello à quello di Stackelberg con un’impresa leader $L$, che muove per prima, e un’impresa che muove per seconda $F$. L’impresa ‘follower’ risponde à la Cournot: $$MR_F = MC ⇒$$ $$140 − 2Q_L − 4Q_F = 0$$ la curva di reazione è: $$Q_F =\frac{(140−2Q_L)}{4}$$ La domanda residuale per $L$: $$P = 140 − 2Q_L − 2\frac{(140−2Q_L)}{4}=\frac{140}{2} − Q_L$$ $$MR_L = MC ⇒ \frac{140}{2} − 2Q_L= 0 $$ $$Q_L = 35$$ La risposta dell’impresa $F$: $$Q_F =\frac{140−70}{4} = Q_F = 17,5$$
Corrisponde ai profitti di ciascun duopolista. Il prezzo di vendita è: $$AR = 140−2(35+17, 5) = 35$$ $$Π_L = 35 × 35 = Π_L = 1225$$ $$Π_F = 35 × 17, 5 = Π_F = 612, 5$$
Si comporta come un monopolista: $$MR = MC ⇒ 140 − 4Q = 0 ⇒ Q = 140/4 = 35 $$ $$P = 140 − 2 × 35 = P = 70$$

Esercizio n.2

In duopolio le imprese producono sempre più di quanto produrrebbe un monopolio.

Soluzione

VERO

Indipendentemente dal tipo di concorrenza (alla Bertrand, alla Cournot o alla Stackelberg), la presenza di rivali induce le imprese a produrre complessivamente un numero di unità di output maggiori di quelle che verrebbero prodotte da un monopolista. In particolare con concorrenza simultanea nel prezzo e costi simmetrici, due imprese produrrebbero lo stesso livello di output (complessivamente) che verrebbe prodotto in concorrenza perfetta.

Esercizio n.3

Due imprese che competono alla Stackelberg e hanno costi marginali uguali e costanti producono, in equilibrio, la stessa quantità

Soluzione

FALSO

Anche se i duopolisti hanno lo stesso costo marginale, l'impresa leader si avvantaggia in quanto può scegliere il proprioo livello di produzione prima della rivale. Il leader produrrà più del follower in equilibrio.

Esercizio n.4

Gianni & Pinotto sono titolari dell'unica impresa produttrice di giocattoli di Playland. La domanda di mercato è $$Y = 10-p$$ dove $Y$ indica la quantità di giocattoli e p il prezzo di vendita. I costi marginali (e medi) di produzione sono pari a 4.

Calcolate l'equilibrio di monopolio in termini di quantità prodotta, prezzo praticato, profitto ottenuto e surplus dei consumatori.
In seguito ad un terribile litigio i due titolari decidono di separarsi dando vita a due imprese identiche, la Gianni's (G) e la Pinotto's (P), caratterizzate da costi marginali di produzione $MCG = MCP = 4$. Iniziano quindi a competere simultaneamente sulle quantit`. Indicate con $y_G$ i giocattoli prodotti dalla Gianni's e con $y_P$ quelli della Pinotto's ($Y = y_G+y_P)$. Calcolate il nuovo equilibrio raggiunto e confrontate i valori ottenuti con quelli individuati al punto precedente.
Supponete ora che l'impresa G diventi uno Stackelberg leader e che quindi faccia la prima mossa scegliendo il proprio volume di produzione prima dell'impresa P. Vi aspettate che le due imprese continuino a spartirsi equamente il mercato? Perchè?

Soluzione

Il monopolista sceglie il livello di output che massimizza il suo profitto, ovvero tale per cui: $$MR=MC$$ I ricavi totali del monopolista, usando la domanda inversa per esprimere il prezzo, sono: $$TR(Y)=(10-Y)\cdot Y$$ da cui un ricavo marginale: $$MR=10-2Y$$ Il costo marginale del monopolista è pari a 4; quindi la condizione $MR = MC$ implica: $$10 -2Y = 4$$ Ne segue un livello di produzione $Y^* =3$, un prezzo praticato $p^* = 7$, profitti: $$\pi^*=7\cdot 3 -4 \cdot 3=9$$ Il surplus dei consumatori è dato dall'area del triangolo che ha per base la quantità totale prodotta e per altezza la differenza fra l'intercetta della domanda inversa e il prezzo di equilibrio: $$SC^*=0,5\cdot 3 \cdot (10-7)=9/2=4,5$$
La funzione di reazione di ciascun duopolista si ottiene ponendo $$MR_i = MC_i$$ sapendo che $MR_i$ dipende anche da quanto produce l'altro duopolista, e risolvendo nella quantità del primo. Consideriamo il duopolista G. I suoi ricavi totali, usando la funzione di domanda di mercato inversa per esprimere il prezzo: $$TR(y_G) = (10-y_G-y_P)\cdot y_G$$ da cui un ricavo marginale: $$MR(y_G) = 10-2y_G-y_P$$ Il costo marginale del duopolista è pari a 4. Dalla condizione di uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale si ha che: $$y_G = 3-\frac{1}{2}y_P $$ Similmante la funzione di reazione del secondo duopolista ` pari a: $$y_P = 3-\frac{1}{2}y_G $$ L'equilibrio di Cournot è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni di reazione: \begin{cases} y_G = 3-\frac{1}{2}y_P \\ y_P = 3-\frac{1}{2}y_G \end{cases} da cui, dopo qualche passaggio otteniamo quanto produce ciascun duopolista: $$y_G^C=y_P^C=2$$ Il prezzo di equilibrio, usando la domanda inversa, è: $$p^C=10-4=6$$ I profitti di ciascun duopolista sono: $$\pi^C=p^C\cdot y_i^C -C(y_i^C)=4$$ ed il surplus dei consumatori, calcolato come spiegato anche al punto precedente,è $$SC^C=0,5\cdot(10-6) \cdot 4=8>SC^*$$
Nel caso in cui la Gianni's diventi uno Stackelberg leader, aumenterà la sua quota di mercato facendo la prima mossa e scegliendo un livello di produzione superiore a quello scelto in corrispondenza dell'equilibrio simultaneo di Cournot. La Pinotto's reagirà contraendo il suo livello di output e producendo quindi meno di quanto individuato in corrispondenza dell'equilibrio simultaneo di Cournot. I profitti della Gianni's aumentano mentre quelli della Pinotto's si riducono per effetto del vantaggio strategico della Gianni's.