Oligopolio Cournot

Esercizio n.1

Si consideri un mercato caratterizzato dalla seguente funzione di domanda inversa: $$p(Q) = 100 − 2Q $$ Il costo di produzione di ogni impresa che opera in questo mercato è \(C(q) = 4q\). Si assuma che vi sono due imprese che operano in questo mercato e che tali imprese competono a' la Cournot. Derivare le funzioni di reazione di ciascuna impresa.

Soluzione
l'impresa i massimizza i profitti $$π_i(q_i, q_j ) = (100 − 2q_i − 2q_j )q_i − 4q_i$$ rispetto a \(q_i\). La condizione del primo ordine è: $$\frac{dπ_i}{dq_i}= 100 − 4q_i − 2q_j − 4 = 0$$ $$q_i(q_j ) = max \{0, 24 −12q_j\}$$ In virtù del fatto che le due imprese sono identiche in equilibrio si avrà \(q_1 = q_2\). Possiamo sfruttare la simmetria del problema per ottenere le quantità di equilibrio: $$q_1 = 24 −12q_1 ⇒ q_1 = q2 = 16. Q = 32$$ e $$P = 100 − 64 = 36$$

Esercizio n.2

Sul mercato delle bevande gassate competono due aziende (Alfa e Beta) secondo un modello à la Cournot. La curva di domanda di mercato è data da \(p(Q)=20‐Q\). Le imprese Alfa e Beta hanno la medesima funzione di costo e il costo marginale è nullo.

  1. Dite se le due aziende competono sulle quantità o sui prezzi
  2. Spiegate cosa si intende per curva di reazione
  3. Calcolate le equazioni delle curve di reazione di Alfa e Beta
  4. Ricavate la quantità ottima per entrambe le imprese, la quantità totale offerta sul mercato e il prezzo di equilibrio
Soluzione
  1. Se le imprese competono secondo il modello di Cournot questo significa che la variabile strategica è la quantità prodotta. Al contrario, nel modello à la Bertrand i duopolisti competono sul prezzo.
  2. La funzione di reazione indica come le decisioni dell’impresa Alfa si modificano in relazione alle decisioni di produzione dell’impresa Beta, e viceversa. La funzione di reazione di un duopolista indica il livello di produzione che consente di massimizzare il profitto in funzione della quantità prodotta dall’altra impresa.
  3. Se il livello di output totale è dato da Q, allora avremo che $$Q = q_α+q_β$$ dove \(qα e qβ\) sono rispettivamente le quantità prodotte dall’impresa Alfa e dall’Impresa Beta. Consideriamo l’impresa Alfa: la sua curva di domanda è $$Pα=(20‐q_β)‐q_α$$ Il ricavo totale sarà pari a $$TR_α(q_α)= P_α* q_α= [(20‐q_β)‐q_α] * q_α$$ $$TR_α(q_α)= (20 q_α‐q_αq_β)‐q_α^2$$ Di conseguenza, il ricavo marginale sarà: $$MRα=(20‐q_β)‐2q_α$$ L’impresa Alfa massimizza il profitto se \(MR_α(q_α ) = MC_α(q_α )\).
    Avremo allora $$MR_α(q_α ) = 0 ⇒ (20 − qβ ) − 2qα = 0$$ $$q_α^*=10 -(1/2)q_β$$ Come è evidente la quantità che massimizza il profitto dell’impresa Alfa dipende dalla quantità prodotta dall’impresa Beta. Poiché l’esercizio afferma che le imprese hanno la medesima funzione di costo, il duopolio è simmetrico e la funzione di reazione dell’impresa Beta sarà: $$q_β^*=10 -(1/2)q_α$$ La quantità di equilibrio in un duopolio di Cournot corrisponde alla intersezione delle due curve di reazione. Sostituendo la funzione di reazione della impresa Beta in quella dell’impresa Alfa: $$q_α^*=10 -[(20-q_α)*1/4]$$ $$q_α^*=6.67$$ Ed anche \(q_β\) sarà pari a 6.67. Il prezzo invece sarà pari a: $$P^*=20-6.67-6.67=6.67$$

Esercizio n.3

In un mercato la cui domanda è \(P = 100 − Q\) operano \(10\) imprese identiche caratterizzate dalla funzione di costo \(C_i = q_i\) . Determinare l’equilibrio di mercato nel caso le imprese competano alla Cournot.

Soluzione
Consideriamo il caso generale di n imprese identiche. La quantità totale prodotta sarà pari a $$Q = q_1 + q_2 + q_n = \sum_{i=1}^{n} q_i = nq_i$$ dove \(q_i\) è la quantità prodotta dall’i-esima impresa e \(Q_−i\) rappresenta la quantità prodotta dalle restanti n-1 imprese sul mercato. Il profitto dell’impresa \(i\) sarà: $$π_i = Pq_i - c_iq_i = [A - (Q_-1 + q_i)]q_i - c_iq_i$$ $$π_i = Aq_i - Q_-iq_i - q_i^2 - c_iq_i$$ Massimizzando: $$\frac{∂π_i}{∂q_i}=A-Q_-i - 2q_i - c_i=0$$ Essendo le imprese identiche \(Q_-i = (n −1)qi\) , quindi: $$A-(n-1)q_i -2q_i - c_i =0 ⇒ A-c_i=(n-1)q_i$$ Quindi $$q_i=\frac{A-c_i}{n+1}$$ Applicando la formula all'esercizio si avrà che: $$q_i=\frac{100-1}{10+1}=10$$ $$π_i= 10⋅9-1⋅9=81$$

Esercizio n.4

Si consideri un mercato in cui \(n\) imprese competono alla Cournot. La curva di domanda è indicata con \(P(Y)\) e la funzione di costo di ogni singola impresa è data da: $$c_i(y_i)=cy_i$$ Per semplicità si assume che \(P''(Y)<0\). Si supponga inoltra che a ciascuna impresa è richiesto il pagamento di una specifica tassa \(t_i\).

  1. Scrivere la condizione del primo ordine per la \(i-sima\) impresa.
  2. Mostrare che l'output ed il prezzo del mercato dipendono unicamente dalla sommatoria: $$\sum_{i=1}^{n} t_i$$

Soluzione
  1. La condizione del primo ordine per la \(i-sima\) è: $$P(Y)+P'(Y)y_i = c + t_i$$
  2. Se sommiamo la condizione del primo ordine per \(n\) imprese si ha che: $$nP(Y)+P'(Y)Y = nc + \sum_{i=1}^{n} t_i$$ Da cui è possibile notare che l'output del mercato può dipendere unicamente dalla sommatoria delle tasse.

Esercizio n.5

Si consideri un mercato oligopolistico con \(N\) imprese identiche. La funzione di costo dell'impresa i è \(C(qi) = F + cqi\) per \(i = 1, ..., N\). La funzione di domanda inversa è \(P(Q) = A − Q\), dove \(Q = P_iq_i\). Le N imprese competono a' la Cournot.

  1. Determinare l'equilibrio di Cournot.
  2. Come varia la quantità prodotta da ciascuna impresa al variare di \(N\) ?
  3. Come varia la quantità totale al variare di \(N\) ?
  4. Determinare il numero di imprese in equilibrio con free entry nel mercato

Soluzione
  1. L'impresa massimizza i profitti \(π_i = (A - q_i - Q_i)q_i -cq_i - F\) rispetto a \(q_i\). La condizione del primo ordine è: $$dπ^*_i/dq_i = A - 2q_i - Q_-i - c = 0$$ Poichè le \(N\) imprese sono tutte identiche si ha che \(Q_-i = (N-1)q_i\). Di conseguenza $$q^*_i = (A-c)/(N+1)$$ $$ p^∗ = (A+Nc)/N+1$$
  2. Calcoliamo la derivata di \(q^*_i\) rispetto a \(N\) : $$dq^*_i/dN = −(A−c)/(N+1)^2 < 0$$ All'aumentare del numero di imprese ciascuna impresa produce una quantità inferiore.
  3. Calcoliamo la derivata di \(Q^*\) rispetto a \(N\) : $$dQ^*/dN = (A−c)/(N+1)^2 > 0$$ All'aumentare del numero di imprese la quantità totale offerta dal mercato aumenta.
  4. In equilibrio si deve avere che i protti di ciascuna impresa sono nulli, per cui la condizione è: $$(A−c)/(N+1)^2 − F = 0 ⇐⇒ (N + 1)^2 =(A−c)^2/F$$