Oligopolio Cournot
Esercizio n.1
Si consideri un mercato caratterizzato dalla seguente funzione di domanda
inversa:
$$p(Q) = 100 − 2Q $$
Il
costo di produzione di ogni impresa che opera in questo mercato è \(C(q) = 4q\).
Si assuma che vi sono due imprese che operano in questo mercato e che tali imprese competono
a' la
Cournot. Derivare le funzioni di reazione di ciascuna impresa.
Soluzione
l'impresa i massimizza i profitti $$π_i(q_i, q_j ) = (100 − 2q_i − 2q_j )q_i − 4q_i$$ rispetto a \(q_i\). La condizione del primo ordine è: $$\frac{dπ_i}{dq_i}= 100 − 4q_i − 2q_j − 4 = 0$$ $$q_i(q_j ) = max \{0, 24 −12q_j\}$$ In virtù del fatto che le due imprese sono identiche in equilibrio si avrà \(q_1 = q_2\). Possiamo sfruttare la simmetria del problema per ottenere le quantità di equilibrio: $$q_1 = 24 −12q_1 ⇒ q_1 = q2 = 16. Q = 32$$ e $$P = 100 − 64 = 36$$Esercizio n.2
Sul mercato delle bevande gassate competono due aziende (Alfa e Beta) secondo un modello à la Cournot. La curva di domanda di mercato è data da \(p(Q)=20‐Q\). Le imprese Alfa e Beta hanno la medesima funzione di costo e il costo marginale è nullo.
- Dite se le due aziende competono sulle quantità o sui prezzi
- Spiegate cosa si intende per curva di reazione
- Calcolate le equazioni delle curve di reazione di Alfa e Beta
- Ricavate la quantità ottima per entrambe le imprese, la quantità totale offerta sul mercato e il prezzo di equilibrio
Soluzione
- Se le imprese competono secondo il modello di Cournot questo significa che la variabile strategica è la quantità prodotta. Al contrario, nel modello à la Bertrand i duopolisti competono sul prezzo.
- La funzione di reazione indica come le decisioni dell’impresa Alfa si modificano in relazione alle decisioni di produzione dell’impresa Beta, e viceversa. La funzione di reazione di un duopolista indica il livello di produzione che consente di massimizzare il profitto in funzione della quantità prodotta dall’altra impresa.
- Se il livello di output totale è dato da Q, allora avremo che
$$Q = q_α+q_β$$
dove \(qα e qβ\) sono rispettivamente le quantità prodotte dall’impresa Alfa e
dall’Impresa
Beta. Consideriamo l’impresa Alfa: la sua curva di domanda è
$$Pα=(20‐q_β)‐q_α$$
Il ricavo totale sarà pari a
$$TR_α(q_α)= P_α* q_α= [(20‐q_β)‐q_α] * q_α$$
$$TR_α(q_α)= (20 q_α‐q_αq_β)‐q_α^2$$
Di conseguenza, il ricavo marginale sarà:
$$MRα=(20‐q_β)‐2q_α$$
L’impresa Alfa massimizza il profitto se \(MR_α(q_α ) = MC_α(q_α )\).
Avremo allora $$MR_α(q_α ) = 0 ⇒ (20 − qβ ) − 2qα = 0$$ $$q_α^*=10 -(1/2)q_β$$ Come è evidente la quantità che massimizza il profitto dell’impresa Alfa dipende dalla quantità prodotta dall’impresa Beta. Poiché l’esercizio afferma che le imprese hanno la medesima funzione di costo, il duopolio è simmetrico e la funzione di reazione dell’impresa Beta sarà: $$q_β^*=10 -(1/2)q_α$$ La quantità di equilibrio in un duopolio di Cournot corrisponde alla intersezione delle due curve di reazione. Sostituendo la funzione di reazione della impresa Beta in quella dell’impresa Alfa: $$q_α^*=10 -[(20-q_α)*1/4]$$ $$q_α^*=6.67$$ Ed anche \(q_β\) sarà pari a 6.67. Il prezzo invece sarà pari a: $$P^*=20-6.67-6.67=6.67$$
Esercizio n.3
In un mercato la cui domanda è \(P = 100 − Q\) operano \(10\) imprese identiche caratterizzate dalla funzione di costo \(C_i = q_i\) . Determinare l’equilibrio di mercato nel caso le imprese competano alla Cournot.
Soluzione
Consideriamo il caso generale di n imprese identiche. La quantità totale prodotta sarà pari a $$Q = q_1 + q_2 + q_n = \sum_{i=1}^{n} q_i = nq_i$$ dove \(q_i\) è la quantità prodotta dall’i-esima impresa e \(Q_−i\) rappresenta la quantità prodotta dalle restanti n-1 imprese sul mercato. Il profitto dell’impresa \(i\) sarà: $$π_i = Pq_i - c_iq_i = [A - (Q_-1 + q_i)]q_i - c_iq_i$$ $$π_i = Aq_i - Q_-iq_i - q_i^2 - c_iq_i$$ Massimizzando: $$\frac{∂π_i}{∂q_i}=A-Q_-i - 2q_i - c_i=0$$ Essendo le imprese identiche \(Q_-i = (n −1)qi\) , quindi: $$A-(n-1)q_i -2q_i - c_i =0 ⇒ A-c_i=(n-1)q_i$$ Quindi $$q_i=\frac{A-c_i}{n+1}$$ Applicando la formula all'esercizio si avrà che: $$q_i=\frac{100-1}{10+1}=10$$ $$π_i= 10⋅9-1⋅9=81$$Esercizio n.4
Si consideri un mercato in cui \(n\) imprese competono alla Cournot. La curva di domanda è indicata con \(P(Y)\) e la funzione di costo di ogni singola impresa è data da: $$c_i(y_i)=cy_i$$ Per semplicità si assume che \(P''(Y)<0\). Si supponga inoltra che a ciascuna impresa è richiesto il pagamento di una specifica tassa \(t_i\).
- Scrivere la condizione del primo ordine per la \(i-sima\) impresa.
- Mostrare che l'output ed il prezzo del mercato dipendono unicamente dalla sommatoria: $$\sum_{i=1}^{n} t_i$$
Soluzione
- La condizione del primo ordine per la \(i-sima\) è: $$P(Y)+P'(Y)y_i = c + t_i$$
- Se sommiamo la condizione del primo ordine per \(n\) imprese si ha che: $$nP(Y)+P'(Y)Y = nc + \sum_{i=1}^{n} t_i$$ Da cui è possibile notare che l'output del mercato può dipendere unicamente dalla sommatoria delle tasse.
Esercizio n.5
Si consideri un mercato oligopolistico con \(N\) imprese identiche. La funzione di costo dell'impresa i è \(C(qi) = F + cqi\) per \(i = 1, ..., N\). La funzione di domanda inversa è \(P(Q) = A − Q\), dove \(Q = P_iq_i\). Le N imprese competono a' la Cournot.
- Determinare l'equilibrio di Cournot.
- Come varia la quantità prodotta da ciascuna impresa al variare di \(N\) ?
- Come varia la quantità totale al variare di \(N\) ?
- Determinare il numero di imprese in equilibrio con free entry nel mercato
Soluzione
- L'impresa massimizza i profitti \(π_i = (A - q_i - Q_i)q_i -cq_i - F\) rispetto a \(q_i\). La condizione del primo ordine è: $$dπ^*_i/dq_i = A - 2q_i - Q_-i - c = 0$$ Poichè le \(N\) imprese sono tutte identiche si ha che \(Q_-i = (N-1)q_i\). Di conseguenza $$q^*_i = (A-c)/(N+1)$$ $$ p^∗ = (A+Nc)/N+1$$
- Calcoliamo la derivata di \(q^*_i\) rispetto a \(N\) : $$dq^*_i/dN = −(A−c)/(N+1)^2 < 0$$ All'aumentare del numero di imprese ciascuna impresa produce una quantità inferiore.
- Calcoliamo la derivata di \(Q^*\) rispetto a \(N\) : $$dQ^*/dN = (A−c)/(N+1)^2 > 0$$ All'aumentare del numero di imprese la quantità totale offerta dal mercato aumenta.
- In equilibrio si deve avere che i protti di ciascuna impresa sono nulli, per cui la condizione è: $$(A−c)/(N+1)^2 − F = 0 ⇐⇒ (N + 1)^2 =(A−c)^2/F$$