Esercizio 1: Analisi dei Rendimenti di Scala
Una funzione di produzione è data da: $$Q(L, K) = 2L^{1/3}K^{2/3}$$ Determinare se la funzione presenta rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti.
Soluzione
Applichiamo una trasformazione proporzionale sui fattori: $$Q(\lambda L, \lambda K) = 2(\lambda L)^{1/3}(\lambda K)^{2/3} = 2\lambda^{1/3 + 2/3}L^{1/3}K^{2/3} = \lambda Q(L, K)$$ Poiché \( \lambda = 1 \), la funzione presenta rendimenti di scala costanti.
Esercizio 2: Interpretazione Grafica
Una funzione di produzione è data da: $$Q(L, K) = L^{1/2} + K^{1/2}$$ Determinare i rendimenti di scala e fornire un'interpretazione grafica degli isoquanti.
Soluzione
Applichiamo una trasformazione proporzionale sui fattori: $$Q(\lambda L, \lambda K) = (\lambda L)^{1/2} + (\lambda K)^{1/2} = \lambda^{1/2}L^{1/2} + \lambda^{1/2}K^{1/2}$$ Poiché il fattore moltiplicativo è \( \lambda^{1/2} \), la funzione presenta rendimenti di scala decrescenti. Gli isoquanti saranno curve che decrescono lentamente con un aumento simultaneo di \( L \) e \( K \).
Esercizio 3: Funzione di Produzione Lineare
Una funzione di produzione è definita come: $$Q(L, K) = 5L + 2K$$ Determinare se la funzione presenta rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti.
Soluzione
Applichiamo una trasformazione proporzionale sui fattori: $$Q(\lambda L, \lambda K) = 5(\lambda L) + 2(\lambda K) = \lambda(5L + 2K) = \lambda Q(L, K)$$ La funzione presenta rendimenti di scala costanti. Gli isoquanti sono lineari.
Esercizio 4: Funzione Cobb-Douglas
La funzione di produzione di un'impresa è data da: $$Q(L, K) = 4L^{0.7}K^{0.5}$$ Determinare i rendimenti di scala e discutere le implicazioni economiche.
Soluzione
Applichiamo una trasformazione proporzionale sui fattori: $$Q(\lambda L, \lambda K) = 4(\lambda L)^{0.7}(\lambda K)^{0.5} = 4\lambda^{0.7 + 0.5}L^{0.7}K^{0.5} = 4\lambda^{1.2}Q(L, K)$$ Poiché \( 1.2 > 1 \), la funzione presenta rendimenti di scala crescenti. Questo implica che l'impresa beneficia di un aumento della produttività complessiva quando entrambi i fattori vengono incrementati.
Esercizio Completo
Un'impresa utilizza una funzione di produzione Cobb-Douglas complessa descritta da: $$Q(L, K) = A L^{\alpha} K^{\beta} + B L^{\gamma} K^{\delta}$$ dove \(A = 2\), \(B = 1\), \( \alpha = 0.5\), \( \beta = 0.4\), \( \gamma = 0.2\), \( \delta = 0.1\).
Domande
- Determina i rendimenti di scala complessivi della funzione di produzione.
- Calcola le produttività marginali del lavoro e del capitale.
- Disegna i grafici degli isoquanti per combinazioni \(L, K\) pari a \(L, K \in [1, 10]\).
- Considera un vincolo di costo totale di \(C = wL + rK\), con \(w = 5\) e \(r = 10\). Determina la combinazione ottima di \(L\) e \(K\) per produrre \(Q = 50\).
- Discuti le implicazioni economiche della funzione Cobb-Douglas combinata rispetto a una funzione Cobb-Douglas standard.
Soluzione
1. Rendimenti di Scala
Sommiamo gli esponenti delle due componenti della funzione: $$\text{Primo termine: } \alpha + \beta = 0.5 + 0.4 = 0.9$$ $$\text{Secondo termine: } \gamma + \delta = 0.2 + 0.1 = 0.3$$ Il totale complessivo degli esponenti è: $$\text{Rendimenti complessivi: } 0.9 + 0.3 = 1.2$$ Poiché \(1.2 > 1\), la funzione presenta rendimenti di scala crescenti.
2. Produttività Marginali
Le produttività marginali sono date dalle derivate parziali della funzione di produzione.
Produttività marginale del lavoro (\(MP_L\)):
$$MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = A \alpha L^{\alpha - 1} K^{\beta} + B \gamma L^{\gamma - 1} K^{\delta}$$
$$MP_L = 2 \cdot 0.5 L^{-0.5} K^{0.4} + 1 \cdot 0.2 L^{-0.8} K^{0.1}$$
Produttività marginale del capitale (\(MP_K\)):
$$MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = A \beta L^{\alpha} K^{\beta - 1} + B \delta L^{\gamma} K^{\delta - 1}$$
$$MP_K = 2 \cdot 0.4 L^{0.5} K^{-0.6} + 1 \cdot 0.1 L^{0.2} K^{-0.9}$$
3. Grafico degli Isoquanti
Gli isoquanti rappresentano le combinazioni di \(L\) e \(K\) che producono lo stesso livello di output \(Q\). Per esempio, per \(Q = 50\): $$50 = 2L^{0.5}K^{0.4} + L^{0.2}K^{0.1}$$ Questo deve essere rappresentato graficamente per diverse combinazioni di \(L\) e \(K\). I grafici possono essere generati tramite software come Python, R o Matlab.
4. Combinazione Ottima di \(L\) e \(K\)
Utilizziamo il metodo del moltiplicatore di Lagrange per risolvere il problema: $$\mathcal{L} = 2L^{0.5}K^{0.4} + L^{0.2}K^{0.1} + \lambda(C - wL - rK)$$ Risolvendo le derivate parziali rispetto a \(L\), \(K\) e \(\lambda\), otteniamo: $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = 1.0L^{-0.5}K^{0.4} + 0.2L^{-0.8}K^{0.1} - 5\lambda = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = 0.8L^{0.5}K^{-0.6} + 0.1L^{0.2}K^{-0.9} - 10\lambda = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = C - wL - rK = 0$$ Risolvendo il sistema, troviamo i valori ottimali di \(L^*\) e \(K^*\).
5. Discussione
La funzione Cobb-Douglas combinata consente una maggiore flessibilità nel rappresentare le tecnologie produttive rispetto a una funzione standard. Tuttavia, la complessità analitica aumenta, rendendo più difficile derivare soluzioni chiuse.