Scatola di Edgeworth

Esercizio 1 — Scambio e miglioramenti paretiani nella scatola di Edgeworth

Due consumatori A e B si dividono quantità totali di \((X,Y) = (10,10)\). La dotazione iniziale è: \[ (x_A,y_A) = (3,7), \qquad (x_B,y_B) = (7,3). \] Le utilità sono: \[ U_A = x_A^{1/2} y_A^{1/2}, \qquad U_B = x_B^{1/3} y_B^{2/3}. \] La seguente figura rappresenta la scatola di Edgeworth con la dotazione iniziale (punto verde) e curve di indifferenza qualitative:

Bene 2 (A) Bene 1 (A) Bene 2 (B) Bene 1 (B) Dotazione iniziale

Determinare se la dotazione iniziale è Pareto-efficiente. Esistono scambi reciprocamente vantaggiosi?

Soluzione

Per verificare l’efficienza confrontiamo i saggi marginali di sostituzione: \[ MRS_A = \frac{y_A}{x_A} = \frac{7}{3} \approx 2.33, \] \[ MRS_B = \frac{2}{3}\frac{x_B}{y_B} = \frac{2}{3}\frac{7}{3} \approx 1.56. \] Poiché: \[ MRS_A \neq MRS_B, \] i due individui valutano diversamente il tasso a cui scambiare i beni. Quindi:

  • la dotazione NON è Pareto-efficiente;
  • esistono scambi che rendono entrambi meglio (siamo fuori dalla curva dei contratti);
  • nel grafico, le curve di indifferenza non sono tangenti nel punto verde.
Conclusione: **sono possibili miglioramenti paretiani**.

Esercizio 2 — Curva dei contratti

Due individui hanno utilità: \[ U_A = x_A + y_A, \qquad U_B = x_B^{1/2} y_B^{1/2}. \] Trova la curva dei contratti.

Soluzione

Per A: \[ MRS_A = \frac{\partial U_A/\partial x}{\partial U_A/\partial y}=1. \] Per B: \[ MRS_B = \frac{y_B}{x_B}. \] Equilibrio: \[ 1 = \frac{y_B}{x_B} \Rightarrow y_B = x_B. \] Poiché: \[ x_A = X - x_B,\quad y_A=Y-y_B, \] la curva dei contratti è: \[ y_B = x_B. \]

Esercizio 3 — Allocazione iniziale e miglioramento paretiano

Due consumatori hanno MRS: \[ MRS_A=2, \qquad MRS_B=0.5. \] Mostra se esistono scambi reciprocamente vantaggiosi.

Soluzione

La condizione di efficienza richiede: \[ MRS_A = MRS_B. \] Poiché: \[ 2 \neq 0.5, \] esiste un intervallo di prezzi a cui entrambi migliorano. → **Esiste un miglioramento paretiano**.

Esercizio 4 — Funzione contratto per due Cobb–Douglas

Due individui hanno utilità identiche: \[ U_i = x_i^{1/3} y_i^{2/3}. \] Trova la curva dei contratti.

Soluzione

MRS comune: \[ MRS = \frac{2}{3}\frac{x}{y}. \] Uguaglianza: \[ \frac{x_A}{y_A} = \frac{x_B}{y_B}. \] Ma poiché: \[ x_B = X - x_A, \qquad y_B = Y - y_A, \] otteniamo: \[ \frac{x_A}{y_A} = \frac{X-x_A}{Y-y_A}. \] Questa è la curva dei contratti.

Esercizio 5 — Edgeworth e prezzi di equilibrio

In una scatola con dotazione totale (10,10), le utilità sono: \[ U_A = x_A y_A, \qquad U_B = x_B y_B. \] La dotazione iniziale è: \[ (x_A,y_A)=(2,8),\quad (x_B,y_B)=(8,2). \] Trova i prezzi di equilibrio se il mercato è concorrenziale.

Soluzione

Per funzioni Leontief-like: \[ MRS_A = \frac{y_A}{x_A}=4,\qquad MRS_B = \frac{y_B}{x_B}=\frac{2}{8}=0.25. \] In equilibrio: \[ MRS_A = MRS_B = \frac{p_x}{p_y}. \] Normalizzando \(p_y=1\): \[ p_x = 0.25. \] Prezzi di equilibrio: \[ (p_x,p_y)=(0.25,1). \]